A hópelyhek

Egyetlen más anyag kristályosodása sem történik olyan változatosan, mint a vízé.
A hópelyhek szerkezetében öltenek legtisztábban alakot a természetes fraktálok.

A sokféleség ellenére egyazon hópehely minden egyes ága ugyanazt a mintát követi. Mindegy, hogy az alakzatot milyen nagyításban szemléljük, a mintázat mindig ugyanaz.

A hópehely szerkezete

Heige von Koch (1870-1924) matematikus 1904-ben olyan matematikai modellel állt elő, melynek segítségével megszerkeszthető a hópehely. Egyszerű egyenlő oldalú háromszögből indul ki. Lépései:









A hópehely keletkezésének Koch-féle fraktálábrázolása talán nem adja vissza híven, milyen szerezeti változások mennek végbe egy-egy dermesztő téli napon, matematikai szempontból azonban kifogástalanul írja le a hópelyhek fraktáltermészetét.

A fraktálgeometriában az adott alakzat kerületének hossza folyamatosan, határtalanul növekszik, területe azonban csak lassan nő.
Matematikailag igazolható, hogy a hópehely területe sohasem haladja meg az eredeti kiindulási háromszög területének 8/5-ét, vagy 1,6-szorosát. Már megint azok a Fibonacci számok!
Míg a hópehely területe behatárolt, addig a kerülete korlátlan - ez minden fraktálgeometriai tárgyra jellemző. A természetben azonban kell, hogy legyen valamiféle határ - a hópehely esetében ez a molekuláris szint.

A hatos szám

A kínaiak is számokkal magyarázták a hópelyhek tulajdonságait. A legkorábbi feljegyzés talán Kr. e. 135-ből, Han Jingtől származik: "A növények és a fák virágai általában ötágúak, a hó azonban... mindig hatágú alakzatokat alkot." A tudós Thang Cshin a püthagoreusokhoz hasonlóan érvelt: "A víz igazi száma a hatos. Ha a víz virágokká fagy, akkor a virágoknak (a hópelyheknek is) hat szirmuk kell, hogy legyen".
Századokkal később, 1611-ben Johannes Kepler tette fel ismét a kérdést - miért alkotnak éppen hatszöget? - és megpróbálta megfejteni a hópelyhek geometriáját.
Robert Hooke (1635-1703) mikroszkóp alatt megvizsgálta és vázlataiban megörökítette őket a 17. század elején. (Hooke tudományos eredményei közé soroljuk a rugók harmonikus mozgásának vizsgálatát, valamint számos newtoni felfedezés megelőlegezését is.)

A befagyó víz

A jég sűrűsége kisebb a vízénél, ezért van az, hogy a jég úszik a vízen. A hópelyhek hatszögű alakzata a jégben is megmutatkozik, mivel minden egyes vízmolekula hexagonális szimmetriájú hidrogén-híd szerkezettel rendelkezik. Ezért valószínűnek látszik, hogy a hópelyhek formációit a molekuláris kötések befolyásolják - avagy, a kínai tudós szavaival élve:"a víz igazi száma a hatos".

Az élő víz

A víz testünk több mint 60 %-át teszi ki, univerzális oldószer. Nélküle egy hétig sem maradnánk életben. Ha a hőmérséklet 4C°-ról 0C°-ra csökken, hirtelen olyan szilárd lesz, hogy akár egy fémcsövet is szét tud feszíteni.

Viktor Schauberger (1885 - 1958) felfedezései

Viktor Schauberger természettudós volt, akinek ötletei jelentősen megelőzték korát. Fiatal korában, mint erdész dolgozott az osztrák Alpokban. Az ottani „zord-természeti” megfigyelések jelentős hatással voltak a munkásságára.

Természeti megfigyelései a víz, mint élő anyag – amely energiával látja el a szerves és szervetlen életet – alapvető tulajdonságain alapulnak. A vizet gyakran, mint a „élő szervezetet” jellemezte.

Szerette a fákat és a természetes erdőket, mint a víz bölcsőit. Felhívta a figyelmet arra, hogy az erdőirtás kimeríti a vízháztartást és megszünteti a termékenységet, amely végeredményben elsivatagosodást és klímaváltozást okoz. Azzal érvelt, hogy amikor a természetes ökológiai rendszer egyensúlyban van, akkor a kreativitás virágzik, összetettebb életformák képesek kifejlődni, és egy univerzális rend és stabilitás is jelen van.

Előre látta, hogy amint az ember egyre inkább a természettel szemben cselekszik, az ökológiai rendszer egyre betegebb lesz, az emberi társadalmak összeomlanak – erőszak, kapzsiság és járványok kíséretében.

Rájött, hogy mivel a víz sűrűsége 4C°-on a legnagyobb, olyan anyagokat is képes fenntartani, amelyeket általában nem. Ezért hőmérsékletszabályozóval ellátott csatornarendszert épített, s ezen olyan rönkfákat is le lehetett úsztatni, amelyek egyébként elsüllyedtek volna.

A folyó geometriájának csekély mértékű megváltoztatása is az üledék lerakódásához, vagy éppen ellenkezőleg, kimosásához, s ezáltal a folyómeder elmélyítéséhez vezethet. Schauberger kidolgozta, hogyan ágyazzanak be bizonyos mértani formák szerint kialakított turbinalapátokat a folyómederbe úgy, hogy a vizet spirál alakba tereljék. Ezzel a módszerrel megtisztította a folyó elposványosodott részeit, ezáltal nagy mértékben megnövelte a vízben oldott oxigén mennyiségét, ezáltal pedig gyorsan emelkedett a vízben élő halak száma is.

A II. világháború után az örvénylés hatását használta ki és fejlesztette a vízből való energianyerés eszközévé. 1958-ban az Egyesült Államokba csábították, de végül elveszítette írásait, prototípusait és jogait. Öt nappal hazatérése után meghalt.
Fia Salzburg környékén megalapította a lauffeni Pythagoras - Kepler System intézetet, amely ma is fennáll.

A kanyargás geometriája

A folyók természetes geometriája a kanyargás. A mélyebb és sekélyebb részek szabályos matematikai rend szerint váltakoznak. Ennek megfelelően a folyó áramlatokat hoz létre, amelyek a kanyarulatokban levő mély medencéket kimossák, a kimosott anyagot pedig lejjebb, a másik parton lerakják. Ennek a vonalnak a tejes alakja tehát óriási színuszhullámként oldalvást halad, lassan a folyás irányában. Az ember megfontolatlan szabályozási kísérletei, amelyeket a kanyargó folyómedrek kiegyenesítésére, vagy kő- és betonpartokkal való megerősítésére tett, komoly károkat okozott. A kanyargás geometriája teszi lehetővé, hogy a folyó megbirkózzon az esőzések függvényében változó vízmennyiséggel. A meder kiegyenesítésével megváltozik a folyási sebesség, ez pedig gyakoribb és pusztítóbb árvizekhez vezet.

Medenceformák

Schauberger sok ötlete vár még hasznosításra. John Wilkes továbbvitte Schauberger elképzeléseit. Egy új áramlásformát kísérletezett ki, speciális vízvezető formákat kialakítva. Ezek nyolcas alakban ide-oda terelgetik a vizet, ezzel azt az áramlásmintát imitálják, amely két víztömeg egybefolyásakor alakul ki. A feltaláló szerint a módszer valódi vízminőség javulást eredményez.

Mediaeval Baebes: A természet bennünk

Kristályszerkezet

Max von Laue, német fizikus 1912-ben egy kristálygömbön keresztül röntgensugarakat irányított egy megvilágítatlan fényképezőlemezre. Amikor előhívta a lemezt, tökéletes szimmetriában elrendezett sötét pontokat látott. A röntgen krisztallográfia tette lehetővé, hogy az egyes ásványok kristályszerkezete tanulmányozhatóvá vált.

A kristályok gyönyörű formákba rendeződnek. A Föld mélyén uralkodó szélsőséges hőmérsékleti és nyomásviszonyok alatt alakulnak ki, alkotórészeik szerkezete szabja meg a kristályos geometriai formákban megmutatkozó eredményt. Egyszerű egész számok határozzák meg mind az atomok elektronhéjait, mind a kristályok konfigurációját.

A kristályok természetes körülmények között poliéderek formájában növekednek. A platonikus testek legközelebbi fizikai megtestesülései, bár nem olyan tökéletesek, mint Platón ideális alakzatai.

Egy-egy adott anyag kristályai mindig ugyanazt a formát veszik fel: felépülhetnek szabályos, vagy szabálytalan poliéderekből, de soha nem mindkettőből.
A konyhasó nagyon magas koncentrációjú, forró vizes oldatából a hűlés során hatoldalú, kockaszerű kristályok válnak ki. A timsóoldatból kiváló kristályok mindig oktaéderesek.

A kristályok az élő formák növekedéséhez hasonlóan épülnek fel: a kristályosodási folyamat során a parányi eredeti forma megduplázódik, majd a kettős szerkezetek öszzekapcsolódásával ugyanaz a szerkezet formálódik nagyban.

A természetben nyilvánvalóan nagyon ritka a teljesen tökéletes forma. A végeredményt gyakran torzítja , hogy növekedés közben a szomszédos szerkezetek összeütköznek, egymásba torlódnak.

A kristályok osztályozása

A kristályok hét fajtáját ismerjűk, mindegyiket csupán egyetlen szerkezeti változás különbözteti meg az előzőtől. A kristályok besorolása aszerint töténik, hogy milyen a síklapok érintkezési szöge, valamint a tengelyek egymáshoz való viszonya.

Kocka alakú kristályok

Ezek a legegyszerűbbek. Három egymásra merőleges és egyenlő hosszúságú tengelyük van.
Az alapkristály minden oldallapja négyzet.
Ilyen kristályszerkezettel rendelkezik pl. a vaspirit, a galenit.
A tér kockájának képe a legelső kabbalisztikus szövegben a Széfer Jecirában szerepel a teljes teremtés eredeti szerkezeteként.



Tetragonális kristályok

Három tengelyük közül csak 2 egyenlő hosszú, de mind merőlegesek egymásra. a kristályokat téglalapok határolják.
Ilyen kristályszerkezete van a kassziteritnek és a rutilnak.




Rombos kristályok

Mindhárom tengelyük különböző hosszú, de egymásra merőleges. Ilyen pl. a topáz, peridot, kalkocit szerkezete.







Monoklin, vagy egyhajlású kristályok

Mindhárom tengelyük különböző hosszúságú, és csak kettő merőleges egymásra. Például a bórax, az azurit és a muszkovit tartozik ebbe a csoportba.







Triklin, vagy háromhajlású kristályok

Mindhárom tengelyük különböző hosszúságú, és nem merőlegesek egymásra. Ez a szerkezet nem gyakori.

Romboéderes, vagy háromszögű kristályok

Mindhárom tengelyük hossza egyenlő, de nem merőlegesek egymásra.

Hatszöges kristályok

Ezek a legösszetettebbek. Négy tengelyük van, három egyenlő hosszúságú, és ugyanazon a síklapon fekszik, egymással 120°-os szöget bezárva. a negyedik tengely a fenti háromra merőleges és bármilyen hosszú lehet. Ilyen pl. a kalcit és a berill.

Kristályformák

- a képek rákattintással nagyobbra nyithatóak

Forrás: hu.wiki

A növények növekedésének geometriája

Az élőlények növekedése ismétlődő mintákat mutat. A növény olyan leveleket növeszt, amelyek a fajra jellemző öröklött mintát követik, és geometriailag megjósolható távolságban nőnek ki a szárból.



Robert Simson skót matematikus 1753-ban észrevette, hogy a Fibonacci számsor irányítja számos levél növekedési mintázatát. A számsor lényegében felvázolja a növekedés geometriáját.


A levél térközhagyása

Ha felülről nézzük valamely növény egyenes szárát, azt látjuk, hogy a levelek spirál mintát követve nőnek ki a szárból. Így jut minden egyes levél a lehető legtöbb esőhöz, napsütéshez.
Ha ujjunkkal levélről levélre haladva körbejárjuk a szárat, meghatározhatjuk a növekedés rendjét - spirálformát találunk. A levelek számlásakor két dologra érdemes odafigyelni: hogy összesen hány levél van a száron, és hogy ujjunkkal hány fordulatot tettünk a szár körül.
Az egyes levélhajtások által bezárt szög: a fordulatok száma x 360 / a levelek száma. A számítás eredménye gyakran 137°30' 27'', amely pontosan 360 / phi x phi (fí az aranymetszés aránya). Ezt a szöget aranyszögnek is nevezik.
E szög segítségével írhatjuk le azt a jelenséget, hogy pontosan az első levél fölött nő ki az 5., 13., 21., 34., ... számú levél.

Az érett magok elhelyezkedése

A Fibonacci számsor természetes előfordulásának legnyilvánvalóbb, szabad szemmel is látható példái a napraforgóvirág és a fenyőtoboz. A napraforgó tányérjában levő magok két egymásba fonódó spirált alkotnak.

A szirmok száma

A Fibonacci számsorhoz szintén köthetők:

3 ............ liliom, nőszirom, hármasszirom

5 ........... harangláb, primula, boglárka, vadrózsa, szarkaláb

8 ........... sarkantyúvirág, vérpipacs, pillangóvirág

13 ......... csodaszem, vetési aranyvirág

21 ......... cikória, sárga százszorszép

34 ........ útifű, morzsika

55 ........ őszcsillaga

89 ........ őszirózsa

A szirmok száma sose éri el a 144-et. Ez a szám sokszor állít határt a Fibonacci számsor természetben előforduló példáinak.

A fraktálok világa

A fraktálok a világegyetem nem euklídeszi szemléletével függenek össze. Olyan geometriai formák, vagy minták, amelyek segítségével a növekedési energiákat lehet leírni, ezért a szakrális geometriához tartoznak. A fraktálokat ma a csillagászatban, a gazdaságtanban, a meteorológiában, és néhány különleges képhatás elérése érdekében a filmművészetben is alkalmazzák.

Benoit Mandelbrot, francia matematikus 1975-ben a fraktálokat olyan objektumokként írta le, amelyek sem nagyítás, sem akár mikroszkopikus kicsinyítés hatására sem veszítik el részleteiket, ill. arányaikat.
Ez az arány az aranymetszés állandójára emlékeztet, melynél egy szakasz vagy téglalap metszésekor minden esetben megmarad ugyanaz az arány.



A fraktálok tulajdonságai

A fraktáloknak két különböző fajtája van: a geometriai és a véletlenszerű vagy random fraktál. A hópehely például olyan geometriai fraktál, amely bizonyos minták szerint hozzáadott egyenlő oldalú háromszögek révén növekszik. A random fraktálokat számítógépekkel hozzák létre mind a modellezésben, mind a játékokban.




A fraktálgeometria olyan természetes növekedési jelenségek ábrázolására képes, mint pl. a partszakaszok, a páfránylevelek, a fakéreg. Az éghajlat, de látszólag még bizonyos ember alkotta jelenségek is eredményezhetnek fraktálokat (gazdasági előrejelzések).

Néhány páfrány a fraktálok klasszikus természeti példája, mivel leveleik minden egyes szelvénye a teljes levél miniatűr másolata. Emelett bizonyos fajok bimbói a logaritmikus spirál mintáját követve bomlanak ki.






A természeti fraktálok az elméleti és matematikailag létrehozott fraktálokkal ellentétben végesek. Például valamely partszakaszt ábrázoló fraktált addig lehet egyre nagyobb nagyításban szemlélni, amíg el nem érjük pl. a parti homokszemcsék konfigurációját. Ennél finomabb szintre nem juthatunk el, és nem várhatjuk a minta további ismétlődését, mint egy matematikai fraktál esetében.

A fraktálok másik fontos tulajdonsága a skálainvariancia, ami azt jelenti, hogy a szabálytalanság vagy a töredezettség foka minden szinten megegyezik.

további képek - vö.: http://www.ilcalderonemagico.it/labirinti_spirali&meandri.html

Rend, nem káosz

A fraktálokat gyakran a káosz geometriájával hozzák kapcsolatba, holott valójában nagyon rendezett alakzatok: egymásba fonódó, önmagukat megsokszorozó természetes objektumok milliói. Határozott geometria szabályozza őket. Például a felhők kimondottan fraktáltermészetűek, külsejük kaotikus, valójában olyan fraktált képeznek, amelyet a vízgőz, a levegő és a porszemcsék kölcsönhatásának tulajdonságai határoznak meg. Egy-egy fraktál mérése vagy meghatározása az alapminta elhatárolásán alapul - rekurzív matematikai függvénnyel.

Érdekesség: a Fibonacci számsor is ilyen rekurzív függvény.

A 13 arkhimédeszi test

Az öt platonikus test "tiszta", azaz kizárólag azonos sokszögekből épül fel. Arkhimédesz (Kr. e. 287 - 212) további 13 olyan testet határoz meg, amelyeket két- vagy többféle különböző sokszögek határolnak.



Arkhimédesz erről szóló eredeti írásai elvesztek. A reneszánsz korában fedezték fel újra egymás után ezeket a testeket, egy kivételével, amit Johannes Kepler (1571 - 1630) fedezett fel újra abbéli igyekezetében, hogy megtalálja a bolygók pályája hátterében álló szakrális számok megoldását.

Az arkhimédeszi testeket határoló síkidomok szimmetrikus, szabályos sokszögek. A test minden egyes csúcsa körül ugyanazok a sokszögek mindig ugyanabban a sorrendben következnek. Például a csonka tetraéder esetében minden csúcsnál egy hatszög - háromszög - hatszög sorozatot tudunk megfigyelni.

A 13 test az egyes csúcsok körül csoportosuló sokszögek típusának felsorolásával jellemezhető. A csonka kocka mind a 24 csúcsa például háromszög - nyolcszög - nyolcszög sorozatot mutat, (3,8,8)-ként lehet rámutatni. Fontos azonban a számok sorrendje.









Hogyan szerkesztjük meg őket?

A 13 test közül hét megszerkeszthető egy-egy platonikus test csonkolásával. A csonkolás a csúcsok levágását jelenti.

Két arkhimédeszi test - a kis rombikozidodekaéder és a rombikuboktaéder - egy platonikus test kiterjeszésének az eredménye.

A fennmaradó két test, a snubdodekaéder és a snub kocka úgy keletkezik, hogy a dodekaédert, illetve a kockát határoló egyes síklapokat kifelé mozdítjuk, és közben elforgatjuk.

A folyamat során az egyes sokszögeket háromszögekből álló határsávval vesszük körül. A fennmaradó helyet egyenlő oldalú háromszögek töltik ki.

Megjegyzés: A fölső két kép nagyítható és a wikipedián megtalálhatók ugyanezen testek forgó képei is.

Az öt platonikus test

A szabályos sokszögek olyan síkidomok, amelyeket úgy bele lehet rajzolni egy körbe, hogy minden csúcsuk érinti a kör kerületét. A szabályos poliéder testeket hasonlóképpen egy gömbben lehet elhelyezni úgy, hogy minden csúcsuk érinti a gömb felszínét. Oldallapjaikat szabályos sokszögek alkotják.

Platón ezeket a háromdimenziós sokszögeket tökéletesnek tartotta, öt ilyen testet írt le:
- a tetraédert ( 4 oldalú)

- a hexaédert ( 6 oldalú)

- az oktaédert ( 8 oldalú)
- a dodekaédert ( 12 oldalú)
- az ikozaédert ( 24 oldalú)

Ezek a testek mind a gyakorlati, mind a misztikus geometria fontos részévé váltak. Nem Platón volt azonban az első, aki foglalkozott velük: az első három a püthagoreusok, a másik kettő pedig Thaitétosz ( kr. 4 sz.) figyelmét keltette fel.

Ritkaságuk miatt Arisztotelész és Platón azt feltételezték, hogy ezek alkotják az anyag építőelemeit, és ezért a négy klasszikus elemmel és az éterrel kapcsolták össze őket.

Minden poliéder összekapcsolható következő alapképlettel:

élek száma + 2 = oldallapok száma + csúcsok száma

Az öt test megfelel két pár elemnek és az éternek. A kocka ( föld) és az oktaéder (levegő) egymás geometriai duálisai: az egyes síklapok középpontjait összekötve az egyik a másikon belül létrehozható. Megszerkeszthetünk tehát egy oktaéderben egy kockát, abban egy oktaédert, abban egy kockát és így tovább.







Ugyanígy egymás duálisai a tetraéder és az ikozaéder által képviselt két elem, a tűz és a víz.


Tökéletes szimmetria áll fenn tehát a két pár elem, a föld - levegő és a tűz - víz között.





A dodekaéder a maga duálisa, ellentetje, így az éter önmagát állítja elő.

Az irracionális számok geometriája

A mai matematikusok azokat a számokat tekintik irracionális számoknak, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, tehát ha ezeket a számokat tizedes szám formájában szeretnénk felírni, a tizedesvessző után végtelen sok tizedesjegy következik.

Ókori őseink a földméréshez a háromszögeket hívták segítségül. A módszer kialakulását az is inspirálta, hogy egy hatalmas földterületen nagyon nehéz pontos, szabályos derékszögekkel rendelkező téglalapot kijelölni.


A háromszög sokkal könnyebben kezelhető, hiszen ha kijelöltük az egyik oldalát, akkor a másik kettő találkozásához már csak egy pont kell. Ha továbbfejlesztjük a módszert, és három, csomókkal ellátott kötelet használunk, csekély hibaszázalékkal kijelölhető a háromszög. Két háromszög felhasználásával tökéletes téglalapot kapunk.

Az egyiptomiaknak gyakran évente újra el kellett végezniük a földmérés procedúráját, miután a Nílus kiöntött és elmosta a régi határjelzőket - ezért is váltak a földmérés szakértőivé.
Az egyiptomiak már jóval a püthagoreusok előtt tudták, hogy a bizonyos számhármasokban kifejezhető háromszögek minden esetben derékszögű háromszöget eredményeznek (pl. 3,4,5 vagy 17, 144, 145).



Püthagoraszi számhármasokban nem kifejezhető derékszögű háromszögek mindig irracinális átfogót eredményeznek.

Görbék és logaritmikus spirálok

A kört Isten tökéletes jelképének tekintjük, egyszersmind azonban zárt és statikus forma. Ezzel szemben a spirál az élet drámai szimbóluma: kezdőpontja van, vége azonban nincs, tehát a végtelenségig képes önmaga kiterjesztésére. Az élet elnyomhatatlan ereje, vagy ahogy Dylan Thomas fogalmazott: "Az erő, mely zöld száron hajt virágot".
Logaritmikus spirálok

Sokféle spirált ismerünk: s
-->íkspirálokat, háromdimenziós spirálokat, jobb- és bal spirálokat, állandó szögű spirálokat, geometriai, logaritmikus és négyzetes spirálokat.

A háromdimenziós spirálok úgy keletkeznek, hogy egy spirál egy másik geometriai forma, például kúp vagy henger körül kanyarog, ezáltal csigavonalat alkot, mint pl. a DNA molekula.

A logaritmikus, vagy szögazonos spirálok keletkezésének kulcsszáma a phí -->, az aranymetszési állandó.
A logaritmikus spirál olyan örvénylő négyszögekből áll, amelyek - a középpontból kifelé haladva - növekednek. Mivel a logaritmikus spirálok mérete egy adott geometriai arány szerint növekszik, a középpontból a spirál egy pontjába meghúzott rádiuszok geometriai progressziót mutatnak. A logaritmikus spirál az egyedüli, amely növekedés közben nem változtatja alakját.
René Descartes (1596 - 1650) a logika mestere és Jakob Bernoulli (1654 - 1705) matematikus is tanulmányozták a logaritmikus spirált. Bernoulli rájött, hogy a spirál megtartja növekedési potenciálját, ezért kérte, hogy s -->írkövére az eadem mutate resurgo (megváltozva bár, mégis önmagam kelek fel) szavakkal együtt ezt az alakzatot véssék majd rá.







Klasszikus görbék
A legfontosabb görbe a kör, emellett azonban léteznek egyéb, már az ókorban is ismert ls használt klasszikus görbék.
A parabola lenyűgöző tulajdonságokkal rendelkező görbe. Egy olyan szobában, amelynek mindkét végén parabolává görbülnek a falak, akkor is eljut a suttogás a parabola fókuszpontjából egy másik pontba, ha a szobában egyéb zajok is vannak. ( Ilyen szobák vannak pl. a washingtoni képviselőházban, a Statutory Hallban.)
Az ellipszis

Ez a geometriai alakzat határozza meg a bolygók Nap körüli pályáját. Johannes Kepler (1571 - 1630) volt az első, aki a bolygók pályájára vet -->ítette ezt a görbét.




A félhold
A hold alakú idomot két különböző sugarú, egymást metsző kör határolja.Khioszi Hippokratesz (kr.e. 460 - 380) a kör négyszögesités problémájának megoldásakor félholdakkal kisérletezett.



Az evolvens

Ez a természetes görbe fedezhető fel a sas csőrének, a cápa hátuszonyának és néhány páfránylevél csúcsának görbületében.







A cikloisz
Olyan görbe, amelyet egy s -->íkfelületen végigördülő henger alakít ki. A henger gurulás közben gyönyörű hosszú, boltívekben és egyéb szerkezetekben jól használható görbét rajzol.
A XVI. században Galilei, Pascal, Descartes, Leibniz és Newton is vizsgálták, a "geometria Helénájának" nevezték. Szépségével együtt a következők is elmondhatók róla:

- hossza pontosan megegyezik az őt létrehozó kör átmérőjének négyszeresével
- az íve alatti terület háromszorosa a görbét létrehozó kör területének
- racionális alakzat, amelyet egy irracionális dimenziókkal rendelkező alakzat, a kör hozott létre.

A kagylóvonal

Állítólag Nikomédész, a görög matematikus (Kr. e. 200) fedezte fel (konchoisz), és két klasszikus problémát oldott meg vele: a szögharmadolást és a kockakettőzést. A kagylóvonal olyan görbe, amelyet egy rögzített egyenes vonal és egy, azon kívül rögzített pont hoz létre.