A hópelyhek

Egyetlen más anyag kristályosodása sem történik olyan változatosan, mint a vízé.
A hópelyhek szerkezetében öltenek legtisztábban alakot a természetes fraktálok.

A sokféleség ellenére egyazon hópehely minden egyes ága ugyanazt a mintát követi. Mindegy, hogy az alakzatot milyen nagyításban szemléljük, a mintázat mindig ugyanaz.

A hópehely szerkezete

Heige von Koch (1870-1924) matematikus 1904-ben olyan matematikai modellel állt elő, melynek segítségével megszerkeszthető a hópehely. Egyszerű egyenlő oldalú háromszögből indul ki. Lépései:









A hópehely keletkezésének Koch-féle fraktálábrázolása talán nem adja vissza híven, milyen szerezeti változások mennek végbe egy-egy dermesztő téli napon, matematikai szempontból azonban kifogástalanul írja le a hópelyhek fraktáltermészetét.

A fraktálgeometriában az adott alakzat kerületének hossza folyamatosan, határtalanul növekszik, területe azonban csak lassan nő.
Matematikailag igazolható, hogy a hópehely területe sohasem haladja meg az eredeti kiindulási háromszög területének 8/5-ét, vagy 1,6-szorosát. Már megint azok a Fibonacci számok!
Míg a hópehely területe behatárolt, addig a kerülete korlátlan - ez minden fraktálgeometriai tárgyra jellemző. A természetben azonban kell, hogy legyen valamiféle határ - a hópehely esetében ez a molekuláris szint.

A hatos szám

A kínaiak is számokkal magyarázták a hópelyhek tulajdonságait. A legkorábbi feljegyzés talán Kr. e. 135-ből, Han Jingtől származik: "A növények és a fák virágai általában ötágúak, a hó azonban... mindig hatágú alakzatokat alkot." A tudós Thang Cshin a püthagoreusokhoz hasonlóan érvelt: "A víz igazi száma a hatos. Ha a víz virágokká fagy, akkor a virágoknak (a hópelyheknek is) hat szirmuk kell, hogy legyen".
Századokkal később, 1611-ben Johannes Kepler tette fel ismét a kérdést - miért alkotnak éppen hatszöget? - és megpróbálta megfejteni a hópelyhek geometriáját.
Robert Hooke (1635-1703) mikroszkóp alatt megvizsgálta és vázlataiban megörökítette őket a 17. század elején. (Hooke tudományos eredményei közé soroljuk a rugók harmonikus mozgásának vizsgálatát, valamint számos newtoni felfedezés megelőlegezését is.)

A befagyó víz

A jég sűrűsége kisebb a vízénél, ezért van az, hogy a jég úszik a vízen. A hópelyhek hatszögű alakzata a jégben is megmutatkozik, mivel minden egyes vízmolekula hexagonális szimmetriájú hidrogén-híd szerkezettel rendelkezik. Ezért valószínűnek látszik, hogy a hópelyhek formációit a molekuláris kötések befolyásolják - avagy, a kínai tudós szavaival élve:"a víz igazi száma a hatos".