Nem szabályos tetraéder

Arne Mikkelsen Blacklight c. fotóján

Odüsszeusz a kerékkel

Chromy Anna szobra a provanszál "azúr" tengerparton Mentonnál

A 13 arkhimédeszi test

Az öt platonikus test "tiszta", azaz kizárólag azonos sokszögekből épül fel. Arkhimédesz (Kr. e. 287 - 212) további 13 olyan testet határoz meg, amelyeket két- vagy többféle különböző sokszögek határolnak.



Arkhimédesz erről szóló eredeti írásai elvesztek. A reneszánsz korában fedezték fel újra egymás után ezeket a testeket, egy kivételével, amit Johannes Kepler (1571 - 1630) fedezett fel újra abbéli igyekezetében, hogy megtalálja a bolygók pályája hátterében álló szakrális számok megoldását.

Az arkhimédeszi testeket határoló síkidomok szimmetrikus, szabályos sokszögek. A test minden egyes csúcsa körül ugyanazok a sokszögek mindig ugyanabban a sorrendben következnek. Például a csonka tetraéder esetében minden csúcsnál egy hatszög - háromszög - hatszög sorozatot tudunk megfigyelni.

A 13 test az egyes csúcsok körül csoportosuló sokszögek típusának felsorolásával jellemezhető. A csonka kocka mind a 24 csúcsa például háromszög - nyolcszög - nyolcszög sorozatot mutat, (3,8,8)-ként lehet rámutatni. Fontos azonban a számok sorrendje.









Hogyan szerkesztjük meg őket?

A 13 test közül hét megszerkeszthető egy-egy platonikus test csonkolásával. A csonkolás a csúcsok levágását jelenti.

Két arkhimédeszi test - a kis rombikozidodekaéder és a rombikuboktaéder - egy platonikus test kiterjeszésének az eredménye.

A fennmaradó két test, a snubdodekaéder és a snub kocka úgy keletkezik, hogy a dodekaédert, illetve a kockát határoló egyes síklapokat kifelé mozdítjuk, és közben elforgatjuk.

A folyamat során az egyes sokszögeket háromszögekből álló határsávval vesszük körül. A fennmaradó helyet egyenlő oldalú háromszögek töltik ki.

Megjegyzés: A fölső két kép nagyítható és a wikipedián megtalálhatók ugyanezen testek forgó képei is.

Az öt platonikus test

A szabályos sokszögek olyan síkidomok, amelyeket úgy bele lehet rajzolni egy körbe, hogy minden csúcsuk érinti a kör kerületét. A szabályos poliéder testeket hasonlóképpen egy gömbben lehet elhelyezni úgy, hogy minden csúcsuk érinti a gömb felszínét. Oldallapjaikat szabályos sokszögek alkotják.

Platón ezeket a háromdimenziós sokszögeket tökéletesnek tartotta, öt ilyen testet írt le:
- a tetraédert ( 4 oldalú)

- a hexaédert ( 6 oldalú)

- az oktaédert ( 8 oldalú)
- a dodekaédert ( 12 oldalú)
- az ikozaédert ( 24 oldalú)

Ezek a testek mind a gyakorlati, mind a misztikus geometria fontos részévé váltak. Nem Platón volt azonban az első, aki foglalkozott velük: az első három a püthagoreusok, a másik kettő pedig Thaitétosz ( kr. 4 sz.) figyelmét keltette fel.

Ritkaságuk miatt Arisztotelész és Platón azt feltételezték, hogy ezek alkotják az anyag építőelemeit, és ezért a négy klasszikus elemmel és az éterrel kapcsolták össze őket.

Minden poliéder összekapcsolható következő alapképlettel:

élek száma + 2 = oldallapok száma + csúcsok száma

Az öt test megfelel két pár elemnek és az éternek. A kocka ( föld) és az oktaéder (levegő) egymás geometriai duálisai: az egyes síklapok középpontjait összekötve az egyik a másikon belül létrehozható. Megszerkeszthetünk tehát egy oktaéderben egy kockát, abban egy oktaédert, abban egy kockát és így tovább.







Ugyanígy egymás duálisai a tetraéder és az ikozaéder által képviselt két elem, a tűz és a víz.


Tökéletes szimmetria áll fenn tehát a két pár elem, a föld - levegő és a tűz - víz között.





A dodekaéder a maga duálisa, ellentetje, így az éter önmagát állítja elő.