Nem szabályos tetraéder

Arne Mikkelsen Blacklight c. fotóján

A Fibonacci-sorozat

A Fibonacci-sorozat az egyik leghíresebb matematikai számsor. Az első néhány száma: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Ahogy látjátok, minden tag az előző kettő összege. Ezt a számsort, ahogy az alábbi képen látjátok, képileg is meg lehet jeleníteni. Ezt az ábrát "Arany-spirálnak" is nevezik. (Nézzétek meg a kis, szürke kockák területét!)

 Nemrégiben találtam egy érdekes cikket arról, hogy miért félkör alakú a Nagykörút és miért nem folytatódik Budán? Egy Tumblrező egészen érdekes magyarázatot mutat a erre a kérdésre. Szerinte Budapest közlekedése igenis szabályos. Sőt: a a Fibonacci-sorozat logikáján alapul. Íme:

 Idézem: "Persze a különös forma valószínűleg a véletlen műve, mindenesetre érdekes, hogy így alakult. A Nagykörút nyomvonalát a Fővárosi Közmunkák Tanácsa jelölte ki, még 1872-ben. A Budapest magját alkotó három várost - Pestet, Budát és Óbudát - 1873-ban egyesítették, ezekre az évekre pedivg a városi lakosság akkorára duzzadt, hogy meg kellet oldani a biztonságos és gyors közlekedést.

A Nagykörút nyomvonalán ebben az időszakban szinte csak üzleti épületek, raktárak, gyárak álltak. Itt viszonylag könnyen ment az építkezés, mert kevés volt az olyan épület, amelyet ki kellett kerülni - szabályosan lehetett tehát vezetni az út nyomvonalát. A rossz közbiztonságú, üres telkekkel, földszintes épületekkel teli területnek jó fejlődési lehetőséget biztosított az új, modern útvonal. A Közmunkák Tanácsa végül 1896-ban adta át az új utat, amely tulajdonképpen ma is Budapest ütőere. A Budai oldalon az építkezés - a domborzati viszonyok és a városi funkciók miatt - másképpen alakult. Innen a félkör forma."

Föld, Hold, bolygók, Nap, csillagok

A színusz- és koszinusz-szögfüggvények értékeinek meghatározása az egységnyi sugarú körbe rajzolt derékszögű háromszögek segítségével

Odüsszeusz a kerékkel

Chromy Anna szobra a provanszál "azúr" tengerparton Mentonnál

Számszív - szívszám ?!

Napraforgófraktál

Reiman István: Matematika, Műszaki '92 /51o K 51

Alfred Watkins és a ley-vonalak

1921. június 20-án A. Watkins (1855 - 1935) utazó ügynök az angliai Blackwardine mellett egy hegycsúcson állva nézelődött. Látomása volt? Egy villanásnyi időre valamilyen mintát vett észre az utak, a szántóföldek határai, folyók, falvak, templomok látszólag szertelen halmazában. Egy hálózatot látott, amely egyenes pályákon kötötte össze a fontos ősi építményeket, földvárakat, régi templomokat, az útmenti kereszteket, a magaslati jelzőtüzeket és ember alkotta harmattavakat. Később könyvében, a The Old Straight Trackben (Ősi egyenes csapás, 1925) emlékezett meg a vízióról. Watkins olyan geometriát látott, amely több száz, talán ezer éve láthatatlan az emberek számára.
Rájött, hogy nagy léptékű katonai térképek (később légi felvételek) segítségével viszonylag pontosan összekötheti a műemlékeket, templomokat, kőhalmokat, hegygerincbe vájt jelöléseket, régi magas területeket, szent kutakat, falusi kacsaúsztatókat, hegycsúcsokat és vaskori erődített földvárakat. Később kiderült, hogy az összekötött helyszínek mind jelentős szerepet töltöttek be a Római Birodalom előtti pogány korszakban.
Mik ezek a vonalak, és mire használták őket?
A vonalak körüli helyek következetes elnevezése azt jelzi, hogy ember alkotta tereptárgyakkal, nem pedig természeti jelenségekkel állunk szemben. A falvak, tereptárgyak vagy farmok neve gyakran kap "-cole" vagy "-cold" vagy "-dod", "-leigh" vagy "-ley" végződést. Ez utóbbi alapján nevezte el őket Watkins ley-vonalaknak.
Ezeket a vonalakat elfedték az új utak, elrejtették a falvakat kikerő utak stb. Watkins meglepődve vette észre, hogy még a templomok is beleillenek a mintába. Később rájött, hogy az akkori szokás szerint a legtöbb esetben régi pogány kőkörök vagy berkek helyén állították fel őket.
Watkins jobb híján azt a magyarázatot adta létezésükre, hogy ezek annak idején tényleges utak voltak. Ez az elmélet azonban nem állja meg a helyét, mert a vonalak gyakran álló köveken, mocsarakon vezettek keresztül. Igaz, hogy látszólag az egyenes római utak is követték a ley-vonalak némelyikét, de a kutatások azt mutatják, hogy gyakran sokkal régibb, már létező nyomokat lehet felfedezni az utak helyén.
A ley vonalak nemcsak szent és legendás helyeket, hanem olyan magas pontokat is érintettek, ahol jelzőfényeket gyújthattak. A ley-vonalak látó-vonalak is voltak. Az volt a feladatuk, hogy összekössék az ország nagyobb településeit, vallási- és védelmi központjait - erre szolgáltak a kőkörökkel és vaskori erődökkel a boszorkánygyűrűk, a jelzőkövek és a mai templomok helyén álló kisebb kőkörök.
A fontosabb ley-vonalak gyakran gyújtópontjuk csillagászati jelentőségét hordozzák. A Grovely Castle-t, Stonehenge-et és Sidbury Campet összekötő ley vonal például azon a sugárúton lép ki Stonehenge-ből, amely a legészakibb napkeltepontra mutat a nyári napfordulón.
Véletlen sorbarendezés? Sokan ezt gondolják. Hogyan lehettek képesek a Római Birodalom kora előtt élő - egyesek szerint primitív és elmaradott - emberek a fentiekhez szükséges precíz földmérésre?
Néhány szerző úgy véli, hogy a ley-vonalak energiája a mei lunghoz, azaz a klasszikus kínai feng shui sárkányvonalaihoz hasonlatos. Ez tévedés, mert a sárkányvonalak mélyen a Föld belsejében húzódnak, és már a meghatározásuk szerint is görbék. A víz vagy a föld tipikus feng shui alakzatai közül egyet sem találtak a ley vonalak végződéseinél, ill. ezek közelében.
Egy nem bizonyított elmélet szerint a ley-vonalak ősi szakrális helyek erővonal-kapcsolódásaiként működnek.
A ley-vonalak ember alkotta vonalak, amelyek főbb kőkörökből és földtöltés-gyűrűvel körülvett településekből indulnak ki. Nem természetes egyenesek. Előfordulásuk véletlenszerű: egy kultúra építette rá a tájra a Római Birodalom előtt, valószínűleg a vaskorban, amely hatalmas kövek mozgatására és felállítására volt képes és óriási árkokat és töltéseket épített. Ez a kultúra nem hagyott hátra írásos emlékeket, és fából készült lakóházait csak nyomokból ismerjük. A ley-vonalak rendeltetése az lehetett, hogy olyan fontos helyeket, mint Old Sarum és Avebury, egyéb településekkel, erődített földvárakkal, kisebb körökkel és szent vallási helyekkel kapcsoljon össze.
A ley-vonalak valóban bonyolult és szakrális geometriát képeznek - az egyes helyszínek geometriája olyan pontokhoz kötődik a horizonton, amelyeket a Hold és a Nap felkelő és lenyugvó pontjainak segítségével határoztak meg. Ez a geometria teremti meg azt a mágiát, amely egyetlen főnök, király vagy klérus fennhatósága alá vonja az egész tájat. Ha ez túl misztikusan hangzik, adjuk hozzá a vonalak gyors katonai információáramlást szolgáló funkcióját, amelyet az egy vonalba eső helyek jelzőfényei biztosítottak.

Jelentős égi "mérföldkövek"

A sarkcsillag

Az északi féltekén a Sarkcsillag segítette az ókori népeket az éjszakai hajózásban, mivel megmutatta nekik a csillagászati észak helyzetét - azaz pontosan a Föld forgástengelye fölött lévő pontot. A Föld azonban a keringése során búgócsigához hasonlóan "imbolyog". A csillagászati északpont 26 000 évenként egyetlen kört rajzol az égre - ezt a folyamatot nevezik precessziónak. Ez azt jelenti, hogy az északpont - egyik csillagról egy másik, közeli csillagra áttevődve - lassan-lassan, az idő múlásával folyamatosan változik.
Ha a Sarkcsillag precessziós mozgásának 26 000 évét elosztjuk 12-vel (12 zodiákus jegy), egy hozzávetőlegesen 2166 éves periódust kapunk. Ez arra késztette az asztrológusokat, hogy a precessziót 12 "korra" osszák fel - az elmúlt kb. 2000 évet a Halak korának nevezték, jelenleg pedig a hippik és ezoterikus beállítottságú emberek által beharangozott Vízöntő kor hajnalának lehetünk tanúi. A korszakváltás azoknak is kapóra jött, akik bizonyos vallások kialakulására és mások hanyatlására keresik a magyarázatot.
A precesszió kulturális emléknyomai között sorolhatjuk fel a halat mint a korai kereszténység szimbólumát, vagy a kost, a Krisztus születését megelőző Kos korszak jelképét. A precessziós mozgás további jelentősége, hogy egy-egy épület és történelmi esemény ideje meghatározható, ha azonosítjuk az adott időszak kulturái által sarkcsillagnak tekintett csillagot. Ezt a módszert Sir John Herschel brit csillagász javasolta a XIX. század derekán, majd Robert Bauvel továbbfejlesztette az elgondolást The Orion Mystery ( Az Orion - rejtély) című, 1994-ben megjelent könyvében, mely a piramisokkal foglalkozik. Egy a Nature magazinban 2000-ben megjelent cikkben Kate Spence, az angliai Cambridge-i Egyetem keleti tanok tanszékének egyiptológusa próbált rivaldafénybe kerülni azáltal, hogy Khufu Nagy Piramisa építésének kezdetét Kr. e. 2480-ra, azaz a korábban elfogadott időponthoz képest mintegy 75 évvel korábbra tette. Ma a Polaris (Sarkcsillag, Esthajnalcsillag) - szakmai nevén alfa - Ursae Minoris - jelöli a csillagászati északi irányt. De Spence szerint a Nagy Piramis építésének idején az aktuális sarkcsillag ugyanehhez a csillagképhez tartozott, és a zéta - Ursae Minoris és a béta - Ursae Minoris osztoztak a "dicsőségen". Látszólagos együttállásuk tette lehetővé a Nagy Piramis alapkőletételéhez köthető pontos dátum megjelölését.

A Szíriusz

A Szíriusz ( vagy alfa - Canis Minoris) kétségtelenül az égbolt legfényesebb csillaga, és egyike a
Földhöz a legközelebb levőknek. A csillag, amely csillagképének neve után (Canis) Nagy Kutya néven ismert - különösen fontos volt az ókori egyiptomiak számára, mert a napkeltéhez közeli felkelése a Nílus áradását és az év kezdetét jelentette. A csillagok helyzete a legkönnyebben felkelésük és lenyugvásuk idején határozható meg a keleti vagy nyugati horizonton. A napkeltéhez közeli felkelés azt jelenti, hogy a csillag hajnalhasadás előtt pár perccel tűnik fel az égen, éppen mielőtt a Nap felkel, és elhalványítja a csillagok fényét.

A Göncölszekér

Ez a csillagkép, amelyet Nagy Medvének is neveznek, közel van a Sarkcsillaghoz, és éppen rámutat. A Göncölszekér mindig látható az északi égbolton, soha nem bukik le a horizont mögé, hanem a Sarkcsillag körül köröz, mint egy hatalmas óramutató. Keringési pályája alapján éjjel megtudhatjuk az időt. Azt is jelzi, hogy melyik évszakban járunk. Az ókori Kínában időmérőként és Sarkcsillagjelzőként, a klasszikus feng shuiban a "kilenc repülő csillag" otthonaként, valamint Észak sötét isteneként tisztelték.

Az éjszakai égbolt

A Föld, miközben a Nap körül kering, a saját tengelye körül is forog. Ez a tengely a bolygópálya síkjával 23,5°-os szöget zár be. A forgástengely mindig ugyanarra a csillagra, a Sarkcsillagra mutat. Az ókorban (különösen Kínában) úgy gondolták, hogy a Sarkcsillag a Napnál sokkal fontosabb szerepet játszik a világegyetem gépezetében. Ma a legtöbb városlakó azt sem tudja, merrefelé keresse az égen.

Az állócsillagok

Számos csillagkép közül az ókorban tizenkettőt választottak ki tájékozódásul, ez a ma ismert tizenkét állatövi jegy.
A Zodiákus vagy Állatöv egy olyan "csillagsáv", amely a Nap látszólagos égi pályájának - az ekliptikának - mindkét oldalán 8-8 foknyira terjeszkedik. Az Állatöv olyan széles, hogy magába foglalja a Nap, a Hold és a bolygók pályáit. Kulcsfontosságú szerepet játszik az égbolt geometriájában.
Az északi féltekén a Sarkcsillag - Esthajnalcsillag - mindig ugyanazon a ponton mutatkozik az égen. Az összes többi csillag minden 24 órában látszólagos körpályát "tesz meg" az esthajnalcsillag körül. A legtöbb csillag a keleti horizonton "kel", a nyugati horizonton pedig "nyugszik", kivéve azokat, amelyek nagyon közel vannak a Sarkcsillaghoz. Az ókorban úgy képzelték, hogy a csillagok egy hatalmas gömbön helyezkednek el, amely a Föld körül forog, középpontja pedig a Sarkcsillag. Ez a kép sokkal világosabb a mai leírásoknál.
A csillagokat természetesen csak körpályájuk egy részén láthatjuk elhaladni, mert napközben a fény kioltja a csillagok fényét. Hogy a teljes csillagos égbolt melyik részén látjuk, az attól függ, hogy melyik féltekén vagyunk.
A csillagok csakis egy szempontból - egymáshoz viszonyítva - állócsillagok.

A Nap

A Nap keleten kel, nyugaton nyugszik - ez az évnek csak két napján történik. A többi napon a napkelte látszólagos helyzete a keleti horizonton "vándorol". A nyugati féltekén ez pont délkelet felől (télen) északkelet felé (nyáron) halad, míg a déli féltekén ennek fordítottja történik.
A napnyugta látszólagos helyzete hasonlóképpen vándorol a horizonton délnyugatról (az északi féltekén télen) északnyugat felé (nyáron).



A Nap legészakibb pontját június 21. körül éri el az északi féltekén, amikor a Rák állatövi jegyben jár: ezen a napon a Ráktérítőn - az egyenlítőtől pontosan 23,5 fokkal északra - délben egyenesen a fejünk fölött süt. Ezt az adatot használta fel Eratoszthenész a Föld kerületének megmérésekor. Stonehenge geometriájában is fontos szerepe van: az építményt úgy tájolták, hogy a nyári napfordulón pontosan a napkelte pontja felé néz.
A Nap járásának naponta változó pályája okozza az évszakok váltakozását - melegebb, tehát nyár van, amikor északi irányba mozdul el, és hűvösebb, azaz tél van, amikor visszavonul délre. A déli féltekén ezzel ellentétesen változnak az évszakok.

A Hold

Az ókorban azt is tudták, hogy a Hold 29,531 naponta tesz meg egy teljes kört a Föld körül, pályájának síkja pedig 5 fokos szöget zár be a Föld Nap körüli pályájának síkjával. A Hold amellett, hogy a Föld körül kering, kel és nyugszik is. A Hold mozgásai régóta fontos szerepet játszanak az idő múlásának mérésében.
A Hold ciklusai szabályozzák az árapályt, egyes növények fejlődését és a menstruációs ciklust is.

Megfigyelési vagy célzási pontok

Nem volt könnyű feladat az állócsillagok helyzetének meghatározása megfelelő fokbeosztással ellátott precíziós látcsövek nélkül.
A babiloniak és az egyiptomiak ezért azt találták ki, hogy sokkal könnyebb feltérképezni a pontot, majd feljegyezni a megfelelő időpontokat amikor egy adott égitest felkel a keleti, vagy lenyugszik a nyugati horizonton. Ezek a célzási pontok alapozták meg a csillagászat tudományát, az asztrológiát, a mágiát és a vallást.
Valószínűleg a babilóniak mérték be és jegyezték fel elsőként a csillagképeket, de az egyiptomiak és a görögök is már régóta birtokában vannak e tudásnak.

A csillagok feltérképezése

Az állócsillagok a leírt mozgások felmérésére alkalmas hálózatot teremtenek, ezért a Zodiákus részletes térképként szolgált az asztrológusok számára. Az asztrológusok eredetileg nem az egyes emberek sorsával, hanem a mennyei minták szövetének általános változásaival foglalkoztak.
Őseink csillagkép csoportokat alakítottak ki, amelyekkel leírhatták az égbolt különböző részeit, majd ezekhez viszonyítva készítették el a csillagok és a bolygók térképét. Ahelyett, hogy egy-egy égitestre vonatkozó, egyszeri pozíció meghatározásokat írtak volna le, inkább a csillagok egymáshoz viszonyított helyzeték mérték fel. Ez fejlettebb módszer, mint a felkelési és a lenyugvási időpontok puszta rögzítése.
Minden csillagképnél feljegyezték a látható csillagok számát, a különösen fénylő csillagokat (Szíriusz), valamint a csillagkép alakját (pl. bika vagy nyíl). Ez eredetileg egyszerű katalógusrendszerként szolgált, később bevezették a gömbmértant - ezzel a geometria tényleg mennyei lett.
Mivel a pontos térképkészítés rendkívül fontos volt, nagy erőfeszítéseket tettek annak érdekében, hogy a csillagászati összhangba rendezett építményeket elpusztíthatatlan anyagból építsék meg. Ilyen pl. a viszonylag késői Jantar Mantar Delhiben, az ókori egyiptomi piramisok, a hatalmas angliai kő- és fakörök, valamint a velük szorosan összefüggő ley vonalak mentén található ősi emlékek - mindegyik a csillagok helyzetével függ össze.

A bolygók

Az ókorban nagyon hamar felismerték, hogy mely égitestek mozdulnak el a többihez képest. Ezek a "vándorló csillagok" valójában a bolygók. Az ókorban ötöt ismertek: a Merkurt, a Vénuszt, a Marsot, a Jupitert és a Szaturnuszt. Végigjárták a Zodiákus jegyeket, és mint a Föld, elliptikus pályán keringenek a Nap körül. Pályájuk nagyon bonyolultnak látszik, mert egy olyan bolygóról szemléljük őket, amely maga is mozog.

A nagy áttörés: Kopernikusz

A lengyel csillagász szerzetes, Nikolausz Kopernikusz (1473 - 1543) De revolutionibus orbium coelestium (Az égitestek körforgásáról) című munkájában azt állítja, hogy a bolygók és a Föld a Nap körül keringenek. Ez nagy áttörés volt, de Kopernikusz Ptolemaiosz körei alapján, körpályákban gondolkodott, mert a kört tökéletes síkidomnak tekintette, és ennek alapján úgy gondolta, hogy Isten minden valószínűség szerint ezt az alakzatot választotta. A megfigyelések azonban hamarosan azt sugallták, hogy ez nem teljesen igaz.
Kopernikusz szakított a középkori kozmológiával, amely a Földet tette meg a világmindenség közepének. Hét csillagászati posztulátuma közül a következő kettő a legfontosabb:
- "A Föld középpontja nem középpontja a Világmindenségnek, hanem csak a nehézkedésnek ( a négy elemnek) és a Hold mozgásának."
- "Mindaz, amit az állócsillagok égboltján mint mozgást észlelünk, nem olyannak mutatkozik, amilyen ténylegesen, hanem olyannak, amilyennek a Földről látszik. A Föld tehát a rajta levő tárgyakkal együtt naponta megfordul változatlan pólusa körül. Ezzel szemben az állócsillagok szférája ... mozdulatlan."

Kepler mutatja az utat

Johannes Kepler (1571 - 1630), Kopernikusz tanítványa jelentette ki 1609-ben, hogy a bolygópályák valójában elliptikusak. A bolgópályák közötti távolság kiszámításához azonban Kepler visszanyúlt az öt platonikus test szakrális geometriájához.
Több, mint 1900 évvel azután, hogy a görög matematikus, Menaikhmosz (Kr. e. 380 - 320) felfedezte az ellipszist, Johannes Kepler rájött, hogy ez a geometriai síkidom írja le a legjobban a bolygók Nap körüli pályáját. Alaposan kidolgozott ábrákat készített olyan egymásból következő gömbökről, amelyek magukban foglalják a platonikus testek mindegyikét, és legvégül a Földet. Felélesztette továbbá a bolygók harmóniájáról szóló elméletet is, amikor is a zenei hangokat a bolygópályákkal hozta összefüggésbe. Leonardo da Vincihez hasonlóan Kepler is igazi reneszánsz ember volt, és emellett ötletes gyakorlati csillagász, aki bizonyítani kívánta, hogy az ókorban használatos geometria a világegyetem rendszerével kapcsolatban is megállja a helyét.

Kepler törvényei

1600-ban Tycho de Brahe dán csillagász (1546 - 1601) felkérte Keplert, hogy dolgozzanak együtt Prágában. Brahe szolgáltatta Keplernek azokat az adatokat, amelyekhez elméleti ellenőrzésre volt szüksége.
Kepler 1. törvényében kimutatta, hogy a bolygók olyan ellipszispályán mozognak, melynek gyújtópontjában a Nap áll.
2. tövényében azt szemlélteti, hogy a Naptól egy bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol, miközben a bolygó pályáján halad.
1612-ben Kepler végül rájött, hogy egyetlen "mágikus" szám adja meg a választ mind a bolygópályák méretével, mid a bolygók keringési idejével kapcsolatos kérdéseire.
3. törvényében kijelenti, hogy a bolygók keringési idejének négyzete arányos a bolygó közepes naptávolságának köbével.
Hihetetlen, hogy ettől a középértéktől még a jóval Kepler halála után felfedezett külső bolygók is csak legfeljebb 0,24%-al térnek el.

A genetika geometriája

A hélix szorosan a növekedéshez kapcsolódó háromdimenziós spirál. Az élővilágban gyakran megmutatkozik a kúszónövények, elsősorban a lonc, a hajnalka és a folyóka növekedésében, ill. az antilopok, kosok vagy a narvál szarvában. A csigalépcső, a sodrott acélhuzal, a facsavarok, a telefonkábelek, a rugók és a dugóhúzó mind-mind ember alkotta spirálok. A spirálforma megjelenik bizonyos időjárási jelenségekben is, pl. viharok, ciklonok és hurrikánok esetén.

A hélix csavarodhat az óramutató járásával egyező, vagy azzal ellentétes irányban. Ezért szokták hozzátenni, hogy jobb vagy bal spirálról van-e szó. Az egyik a másiknak tükörképe.

A kettős spirál még érdekesebb alakzat. Már jóval a DNA felfedezése előtt a pálcára tekeredő kígyó kettős spirálja volt az orvoslás általános szimbóluma. Eredetileg ez egy varázspálca, a kaduceusz, mely a görög istent Hermészt jelképezte. Az alkimistákat, a hermetikus tanok gyakorlóit valaha "Hermész fiaiként" emlegették. Nevük a kaduceusszal is összefonódik.

A DNA kettős spirálja

A dezoxiribonukleinsav (DNA), két jobb irányú háromdimenziós hélixből áll. 1953-ban James Watson és Frederic Crick felfedezte a kettős spirál szerkezetét, akik 1962-ben Maurice Wilkinsszel együtt Nobel díjat kaptak "a nukleinsav molekulaszerkezetével és az élő anyagban az információ átvitelével kapcsolatos felfedezésekért" (információátvitel = genetikai öröklődés).

A DNA kromoszómáknak nevezett fonalakba rendeződik. A különböző fajok kromoszómaszáma eltérő: az ember 46 (23 pár) kromoszómával rendelkezik. Érdekes egybeesés, hogy a görög iszopszéphia módszere szerint összeadjuk genetikai ősapánk, Ádám neve betűinek értékét, az eredmény 46 lesz. A DNA olyan, mint egy spirális létra, amelynek két oldalát számos létrafok tartja össze.

A DNA kettős spirálján 10 fokot kell "megtenni" a teljes fordulathoz - a Kabbalában az Élet Fájához szintén 10 fokú létra tartozik, és a püthagoraszi rendszerben is a tíz a teljesség száma.

Az élő sejtek mindössze hat elemből - szén, hidrogén, nitrogén, oxigén, foszfor, kén - épülnek fel, amelyek egymáshoz közeli redszámokkal (1,5,6,7,15,16) rendelkeznek. A DNA létrafokai nukleotidokból állnak, amelyeknek 4 típusuk van.
A modern génkutatás képes a struktúra tökéletes feltérképezésére.

A kettős spirál geometriáját úgy lehet a legjobban megismerni, ha függőlegesen lefelé végignézünk rajta. A szerkezet kettős ötszögek sora. Az aranymetszés arányszáma szorosan összefonódik az ötszög-szerkezettel. Tehát a DNA kettős spiráljának tengelyszerkezete az aranymetszést hordozza magában.

A hópelyhek

Egyetlen más anyag kristályosodása sem történik olyan változatosan, mint a vízé.
A hópelyhek szerkezetében öltenek legtisztábban alakot a természetes fraktálok.

A sokféleség ellenére egyazon hópehely minden egyes ága ugyanazt a mintát követi. Mindegy, hogy az alakzatot milyen nagyításban szemléljük, a mintázat mindig ugyanaz.

A hópehely szerkezete

Heige von Koch (1870-1924) matematikus 1904-ben olyan matematikai modellel állt elő, melynek segítségével megszerkeszthető a hópehely. Egyszerű egyenlő oldalú háromszögből indul ki. Lépései:









A hópehely keletkezésének Koch-féle fraktálábrázolása talán nem adja vissza híven, milyen szerezeti változások mennek végbe egy-egy dermesztő téli napon, matematikai szempontból azonban kifogástalanul írja le a hópelyhek fraktáltermészetét.

A fraktálgeometriában az adott alakzat kerületének hossza folyamatosan, határtalanul növekszik, területe azonban csak lassan nő.
Matematikailag igazolható, hogy a hópehely területe sohasem haladja meg az eredeti kiindulási háromszög területének 8/5-ét, vagy 1,6-szorosát. Már megint azok a Fibonacci számok!
Míg a hópehely területe behatárolt, addig a kerülete korlátlan - ez minden fraktálgeometriai tárgyra jellemző. A természetben azonban kell, hogy legyen valamiféle határ - a hópehely esetében ez a molekuláris szint.

A hatos szám

A kínaiak is számokkal magyarázták a hópelyhek tulajdonságait. A legkorábbi feljegyzés talán Kr. e. 135-ből, Han Jingtől származik: "A növények és a fák virágai általában ötágúak, a hó azonban... mindig hatágú alakzatokat alkot." A tudós Thang Cshin a püthagoreusokhoz hasonlóan érvelt: "A víz igazi száma a hatos. Ha a víz virágokká fagy, akkor a virágoknak (a hópelyheknek is) hat szirmuk kell, hogy legyen".
Századokkal később, 1611-ben Johannes Kepler tette fel ismét a kérdést - miért alkotnak éppen hatszöget? - és megpróbálta megfejteni a hópelyhek geometriáját.
Robert Hooke (1635-1703) mikroszkóp alatt megvizsgálta és vázlataiban megörökítette őket a 17. század elején. (Hooke tudományos eredményei közé soroljuk a rugók harmonikus mozgásának vizsgálatát, valamint számos newtoni felfedezés megelőlegezését is.)

A befagyó víz

A jég sűrűsége kisebb a vízénél, ezért van az, hogy a jég úszik a vízen. A hópelyhek hatszögű alakzata a jégben is megmutatkozik, mivel minden egyes vízmolekula hexagonális szimmetriájú hidrogén-híd szerkezettel rendelkezik. Ezért valószínűnek látszik, hogy a hópelyhek formációit a molekuláris kötések befolyásolják - avagy, a kínai tudós szavaival élve:"a víz igazi száma a hatos".

Az élő víz

A víz testünk több mint 60 %-át teszi ki, univerzális oldószer. Nélküle egy hétig sem maradnánk életben. Ha a hőmérséklet 4C°-ról 0C°-ra csökken, hirtelen olyan szilárd lesz, hogy akár egy fémcsövet is szét tud feszíteni.

Viktor Schauberger (1885 - 1958) felfedezései

Viktor Schauberger természettudós volt, akinek ötletei jelentősen megelőzték korát. Fiatal korában, mint erdész dolgozott az osztrák Alpokban. Az ottani „zord-természeti” megfigyelések jelentős hatással voltak a munkásságára.

Természeti megfigyelései a víz, mint élő anyag – amely energiával látja el a szerves és szervetlen életet – alapvető tulajdonságain alapulnak. A vizet gyakran, mint a „élő szervezetet” jellemezte.

Szerette a fákat és a természetes erdőket, mint a víz bölcsőit. Felhívta a figyelmet arra, hogy az erdőirtás kimeríti a vízháztartást és megszünteti a termékenységet, amely végeredményben elsivatagosodást és klímaváltozást okoz. Azzal érvelt, hogy amikor a természetes ökológiai rendszer egyensúlyban van, akkor a kreativitás virágzik, összetettebb életformák képesek kifejlődni, és egy univerzális rend és stabilitás is jelen van.

Előre látta, hogy amint az ember egyre inkább a természettel szemben cselekszik, az ökológiai rendszer egyre betegebb lesz, az emberi társadalmak összeomlanak – erőszak, kapzsiság és járványok kíséretében.

Rájött, hogy mivel a víz sűrűsége 4C°-on a legnagyobb, olyan anyagokat is képes fenntartani, amelyeket általában nem. Ezért hőmérsékletszabályozóval ellátott csatornarendszert épített, s ezen olyan rönkfákat is le lehetett úsztatni, amelyek egyébként elsüllyedtek volna.

A folyó geometriájának csekély mértékű megváltoztatása is az üledék lerakódásához, vagy éppen ellenkezőleg, kimosásához, s ezáltal a folyómeder elmélyítéséhez vezethet. Schauberger kidolgozta, hogyan ágyazzanak be bizonyos mértani formák szerint kialakított turbinalapátokat a folyómederbe úgy, hogy a vizet spirál alakba tereljék. Ezzel a módszerrel megtisztította a folyó elposványosodott részeit, ezáltal nagy mértékben megnövelte a vízben oldott oxigén mennyiségét, ezáltal pedig gyorsan emelkedett a vízben élő halak száma is.

A II. világháború után az örvénylés hatását használta ki és fejlesztette a vízből való energianyerés eszközévé. 1958-ban az Egyesült Államokba csábították, de végül elveszítette írásait, prototípusait és jogait. Öt nappal hazatérése után meghalt.
Fia Salzburg környékén megalapította a lauffeni Pythagoras - Kepler System intézetet, amely ma is fennáll.

A kanyargás geometriája

A folyók természetes geometriája a kanyargás. A mélyebb és sekélyebb részek szabályos matematikai rend szerint váltakoznak. Ennek megfelelően a folyó áramlatokat hoz létre, amelyek a kanyarulatokban levő mély medencéket kimossák, a kimosott anyagot pedig lejjebb, a másik parton lerakják. Ennek a vonalnak a tejes alakja tehát óriási színuszhullámként oldalvást halad, lassan a folyás irányában. Az ember megfontolatlan szabályozási kísérletei, amelyeket a kanyargó folyómedrek kiegyenesítésére, vagy kő- és betonpartokkal való megerősítésére tett, komoly károkat okozott. A kanyargás geometriája teszi lehetővé, hogy a folyó megbirkózzon az esőzések függvényében változó vízmennyiséggel. A meder kiegyenesítésével megváltozik a folyási sebesség, ez pedig gyakoribb és pusztítóbb árvizekhez vezet.

Medenceformák

Schauberger sok ötlete vár még hasznosításra. John Wilkes továbbvitte Schauberger elképzeléseit. Egy új áramlásformát kísérletezett ki, speciális vízvezető formákat kialakítva. Ezek nyolcas alakban ide-oda terelgetik a vizet, ezzel azt az áramlásmintát imitálják, amely két víztömeg egybefolyásakor alakul ki. A feltaláló szerint a módszer valódi vízminőség javulást eredményez.

Mediaeval Baebes: A természet bennünk