sacrae sphaerae

Odüsszeusz a kerékkel

2011-11-17T12:59:00.000-08:00

Chromy Anna szobra a provanszál "azúr" tengerparton Mentonnál

Számszív - szívszám ?!

2011-08-02T06:52:00.000-07:00

Napraforgófraktál

2010-07-05T08:34:00.000-07:00

Reiman István: Matematika, Műszaki '92 /51o K 51

Alfred Watkins és a ley-vonalak

2009-03-29T12:15:00.000-07:00

1921. június 20-án A. Watkins (1855 - 1935) utazó ügynök az angliai Blackwardine mellett egy hegycsúcson állva nézelődött. Látomása volt? Egy villanásnyi időre valamilyen mintát vett észre az utak, a szántóföldek határai, folyók, falvak, templomok látszólag szertelen halmazában. Egy hálózatot látott, amely egyenes pályákon kötötte össze a fontos ősi építményeket, földvárakat, régi templomokat, az útmenti kereszteket, a magaslati jelzőtüzeket és ember alkotta harmattavakat. Később könyvében, a The Old Straight Trackben (Ősi egyenes csapás, 1925) emlékezett meg a vízióról. Watkins olyan geometriát látott, amely több száz, talán ezer éve láthatatlan az emberek számára.
Rájött, hogy nagy léptékű katonai térképek (később légi felvételek) segítségével viszonylag pontosan összekötheti a műemlékeket, templomokat, kőhalmokat, hegygerincbe vájt jelöléseket, régi magas területeket, szent kutakat, falusi kacsaúsztatókat, hegycsúcsokat és vaskori erődített földvárakat. Később kiderült, hogy az összekötött helyszínek mind jelentős szerepet töltöttek be a Római Birodalom előtti pogány korszakban.
Mik ezek a vonalak, és mire használták őket?
A vonalak körüli helyek következetes elnevezése azt jelzi, hogy ember alkotta tereptárgyakkal, nem pedig természeti jelenségekkel állunk szemben. A falvak, tereptárgyak vagy farmok neve gyakran kap "-cole" vagy "-cold" vagy "-dod", "-leigh" vagy "-ley" végződést. Ez utóbbi alapján nevezte el őket Watkins ley-vonalaknak.
Ezeket a vonalakat elfedték az új utak, elrejtették a falvakat kikerő utak stb. Watkins meglepődve vette észre, hogy még a templomok is beleillenek a mintába. Később rájött, hogy az akkori szokás szerint a legtöbb esetben régi pogány kőkörök vagy berkek helyén állították fel őket.
Watkins jobb híján azt a magyarázatot adta létezésükre, hogy ezek annak idején tényleges utak voltak. Ez az elmélet azonban nem állja meg a helyét, mert a vonalak gyakran álló köveken, mocsarakon vezettek keresztül. Igaz, hogy látszólag az egyenes római utak is követték a ley-vonalak némelyikét, de a kutatások azt mutatják, hogy gyakran sokkal régibb, már létező nyomokat lehet felfedezni az utak helyén.
A ley vonalak nemcsak szent és legendás helyeket, hanem olyan magas pontokat is érintettek, ahol jelzőfényeket gyújthattak. A ley-vonalak látó-vonalak is voltak. Az volt a feladatuk, hogy összekössék az ország nagyobb településeit, vallási- és védelmi központjait - erre szolgáltak a kőkörökkel és vaskori erődökkel a boszorkánygyűrűk, a jelzőkövek és a mai templomok helyén álló kisebb kőkörök.
A fontosabb ley-vonalak gyakran gyújtópontjuk csillagászati jelentőségét hordozzák. A Grovely Castle-t, Stonehenge-et és Sidbury Campet összekötő ley vonal például azon a sugárúton lép ki Stonehenge-ből, amely a legészakibb napkeltepontra mutat a nyári napfordulón.
Véletlen sorbarendezés? Sokan ezt gondolják. Hogyan lehettek képesek a Római Birodalom kora előtt élő - egyesek szerint primitív és elmaradott - emberek a fentiekhez szükséges precíz földmérésre?
Néhány szerző úgy véli, hogy a ley-vonalak energiája a mei lunghoz, azaz a klasszikus kínai feng shui sárkányvonalaihoz hasonlatos. Ez tévedés, mert a sárkányvonalak mélyen a Föld belsejében húzódnak, és már a meghatározásuk szerint is görbék. A víz vagy a föld tipikus feng shui alakzatai közül egyet sem találtak a ley vonalak végződéseinél, ill. ezek közelében.
Egy nem bizonyított elmélet szerint a ley-vonalak ősi szakrális helyek erővonal-kapcsolódásaiként működnek.
A ley-vonalak ember alkotta vonalak, amelyek főbb kőkörökből és földtöltés-gyűrűvel körülvett településekből indulnak ki. Nem természetes egyenesek. Előfordulásuk véletlenszerű: egy kultúra építette rá a tájra a Római Birodalom előtt, valószínűleg a vaskorban, amely hatalmas kövek mozgatására és felállítására volt képes és óriási árkokat és töltéseket épített. Ez a kultúra nem hagyott hátra írásos emlékeket, és fából készült lakóházait csak nyomokból ismerjük. A ley-vonalak rendeltetése az lehetett, hogy olyan fontos helyeket, mint Old Sarum és Avebury, egyéb településekkel, erődített földvárakkal, kisebb körökkel és szent vallási helyekkel kapcsoljon össze.
A ley-vonalak valóban bonyolult és szakrális geometriát képeznek - az egyes helyszínek geometriája olyan pontokhoz kötődik a horizonton, amelyeket a Hold és a Nap felkelő és lenyugvó pontjainak segítségével határoztak meg. Ez a geometria teremti meg azt a mágiát, amely egyetlen főnök, király vagy klérus fennhatósága alá vonja az egész tájat. Ha ez túl misztikusan hangzik, adjuk hozzá a vonalak gyors katonai információáramlást szolgáló funkcióját, amelyet az egy vonalba eső helyek jelzőfényei biztosítottak.

Jelentős égi "mérföldkövek"

2009-02-15T10:55:00.000-08:00

A sarkcsillag

Az északi féltekén a Sarkcsillag segítette az ókori népeket az éjszakai hajózásban, mivel megmutatta nekik a csillagászati észak helyzetét - azaz pontosan a Föld forgástengelye fölött lévő pontot. A Föld azonban a keringése során búgócsigához hasonlóan "imbolyog". A csillagászati északpont 26 000 évenként egyetlen kört rajzol az égre - ezt a folyamatot nevezik precessziónak. Ez azt jelenti, hogy az északpont - egyik csillagról egy másik, közeli csillagra áttevődve - lassan-lassan, az idő múlásával folyamatosan változik.
Ha a Sarkcsillag precessziós mozgásának 26 000 évét elosztjuk 12-vel (12 zodiákus jegy), egy hozzávetőlegesen 2166 éves periódust kapunk. Ez arra késztette az asztrológusokat, hogy a precessziót 12 "korra" osszák fel - az elmúlt kb. 2000 évet a Halak korának nevezték, jelenleg pedig a hippik és ezoterikus beállítottságú emberek által beharangozott Vízöntő kor hajnalának lehetünk tanúi. A korszakváltás azoknak is kapóra jött, akik bizonyos vallások kialakulására és mások hanyatlására keresik a magyarázatot.
A precesszió kulturális emléknyomai között sorolhatjuk fel a halat mint a korai kereszténység szimbólumát, vagy a kost, a Krisztus születését megelőző Kos korszak jelképét. A precessziós mozgás további jelentősége, hogy egy-egy épület és történelmi esemény ideje meghatározható, ha azonosítjuk az adott időszak kulturái által sarkcsillagnak tekintett csillagot. Ezt a módszert Sir John Herschel brit csillagász javasolta a XIX. század derekán, majd Robert Bauvel továbbfejlesztette az elgondolást The Orion Mystery ( Az Orion - rejtély) című, 1994-ben megjelent könyvében, mely a piramisokkal foglalkozik. Egy a Nature magazinban 2000-ben megjelent cikkben Kate Spence, az angliai Cambridge-i Egyetem keleti tanok tanszékének egyiptológusa próbált rivaldafénybe kerülni azáltal, hogy Khufu Nagy Piramisa építésének kezdetét Kr. e. 2480-ra, azaz a korábban elfogadott időponthoz képest mintegy 75 évvel korábbra tette. Ma a Polaris (Sarkcsillag, Esthajnalcsillag) - szakmai nevén alfa - Ursae Minoris - jelöli a csillagászati északi irányt. De Spence szerint a Nagy Piramis építésének idején az aktuális sarkcsillag ugyanehhez a csillagképhez tartozott, és a zéta - Ursae Minoris és a béta - Ursae Minoris osztoztak a "dicsőségen". Látszólagos együttállásuk tette lehetővé a Nagy Piramis alapkőletételéhez köthető pontos dátum megjelölését.

A Szíriusz

A Szíriusz ( vagy alfa - Canis Minoris) kétségtelenül az égbolt legfényesebb csillaga, és egyike a
Földhöz a legközelebb levőknek. A csillag, amely csillagképének neve után (Canis) Nagy Kutya néven ismert - különösen fontos volt az ókori egyiptomiak számára, mert a napkeltéhez közeli felkelése a Nílus áradását és az év kezdetét jelentette. A csillagok helyzete a legkönnyebben felkelésük és lenyugvásuk idején határozható meg a keleti vagy nyugati horizonton. A napkeltéhez közeli felkelés azt jelenti, hogy a csillag hajnalhasadás előtt pár perccel tűnik fel az égen, éppen mielőtt a Nap felkel, és elhalványítja a csillagok fényét.

A Göncölszekér

Ez a csillagkép, amelyet Nagy Medvének is neveznek, közel van a Sarkcsillaghoz, és éppen rámutat. A Göncölszekér mindig látható az északi égbolton, soha nem bukik le a horizont mögé, hanem a Sarkcsillag körül köröz, mint egy hatalmas óramutató. Keringési pályája alapján éjjel megtudhatjuk az időt. Azt is jelzi, hogy melyik évszakban járunk. Az ókori Kínában időmérőként és Sarkcsillagjelzőként, a klasszikus feng shuiban a "kilenc repülő csillag" otthonaként, valamint Észak sötét isteneként tisztelték.

Az éjszakai égbolt

2009-02-14T09:53:00.000-08:00

A Föld, miközben a Nap körül kering, a saját tengelye körül is forog. Ez a tengely a bolygópálya síkjával 23,5°-os szöget zár be. A forgástengely mindig ugyanarra a csillagra, a Sarkcsillagra mutat. Az ókorban (különösen Kínában) úgy gondolták, hogy a Sarkcsillag a Napnál sokkal fontosabb szerepet játszik a világegyetem gépezetében. Ma a legtöbb városlakó azt sem tudja, merrefelé keresse az égen.

Az állócsillagok

Számos csillagkép közül az ókorban tizenkettőt választottak ki tájékozódásul, ez a ma ismert tizenkét állatövi jegy.
A Zodiákus vagy Állatöv egy olyan "csillagsáv", amely a Nap látszólagos égi pályájának - az ekliptikának - mindkét oldalán 8-8 foknyira terjeszkedik. Az Állatöv olyan széles, hogy magába foglalja a Nap, a Hold és a bolygók pályáit. Kulcsfontosságú szerepet játszik az égbolt geometriájában.
Az északi féltekén a Sarkcsillag - Esthajnalcsillag - mindig ugyanazon a ponton mutatkozik az égen. Az összes többi csillag minden 24 órában látszólagos körpályát "tesz meg" az esthajnalcsillag körül. A legtöbb csillag a keleti horizonton "kel", a nyugati horizonton pedig "nyugszik", kivéve azokat, amelyek nagyon közel vannak a Sarkcsillaghoz. Az ókorban úgy képzelték, hogy a csillagok egy hatalmas gömbön helyezkednek el, amely a Föld körül forog, középpontja pedig a Sarkcsillag. Ez a kép sokkal világosabb a mai leírásoknál.
A csillagokat természetesen csak körpályájuk egy részén láthatjuk elhaladni, mert napközben a fény kioltja a csillagok fényét. Hogy a teljes csillagos égbolt melyik részén látjuk, az attól függ, hogy melyik féltekén vagyunk.
A csillagok csakis egy szempontból - egymáshoz viszonyítva - állócsillagok.

A Nap

A Nap keleten kel, nyugaton nyugszik - ez az évnek csak két napján történik. A többi napon a napkelte látszólagos helyzete a keleti horizonton "vándorol". A nyugati féltekén ez pont délkelet felől (télen) északkelet felé (nyáron) halad, míg a déli féltekén ennek fordítottja történik.
A napnyugta látszólagos helyzete hasonlóképpen vándorol a horizonton délnyugatról (az északi féltekén télen) északnyugat felé (nyáron).

A Nap legészakibb pontját június 21. körül éri el az északi féltekén, amikor a Rák állatövi jegyben jár: ezen a napon a Ráktérítőn - az egyenlítőtől pontosan 23,5 fokkal északra - délben egyenesen a fejünk fölött süt. Ezt az adatot használta fel Eratoszthenész a Föld kerületének megmérésekor. Stonehenge geometriájában is fontos szerepe van: az építményt úgy tájolták, hogy a nyári napfordulón pontosan a napkelte pontja felé néz.
A Nap járásának naponta változó pályája okozza az évszakok váltakozását - melegebb, tehát nyár van, amikor északi irányba mozdul el, és hűvösebb, azaz tél van, amikor visszavonul délre. A déli féltekén ezzel ellentétesen változnak az évszakok.

A Hold

Az ókorban azt is tudták, hogy a Hold 29,531 naponta tesz meg egy teljes kört a Föld körül, pályájának síkja pedig 5 fokos szöget zár be a Föld Nap körüli pályájának síkjával. A Hold amellett, hogy a Föld körül kering, kel és nyugszik is. A Hold mozgásai régóta fontos szerepet játszanak az idő múlásának mérésében.
A Hold ciklusai szabályozzák az árapályt, egyes növények fejlődését és a menstruációs ciklust is.

Megfigyelési vagy célzási pontok

Nem volt könnyű feladat az állócsillagok helyzetének meghatározása megfelelő fokbeosztással ellátott precíziós látcsövek nélkül.
A babiloniak és az egyiptomiak ezért azt találták ki, hogy sokkal könnyebb feltérképezni a pontot, majd feljegyezni a megfelelő időpontokat amikor egy adott égitest felkel a keleti, vagy lenyugszik a nyugati horizonton. Ezek a célzási pontok alapozták meg a csillagászat tudományát, az asztrológiát, a mágiát és a vallást.
Valószínűleg a babilóniak mérték be és jegyezték fel elsőként a csillagképeket, de az egyiptomiak és a görögök is már régóta birtokában vannak e tudásnak.

A csillagok feltérképezése

Az állócsillagok a leírt mozgások felmérésére alkalmas hálózatot teremtenek, ezért a Zodiákus részletes térképként szolgált az asztrológusok számára. Az asztrológusok eredetileg nem az egyes emberek sorsával, hanem a mennyei minták szövetének általános változásaival foglalkoztak.
Őseink csillagkép csoportokat alakítottak ki, amelyekkel leírhatták az égbolt különböző részeit, majd ezekhez viszonyítva készítették el a csillagok és a bolygók térképét. Ahelyett, hogy egy-egy égitestre vonatkozó, egyszeri pozíció meghatározásokat írtak volna le, inkább a csillagok egymáshoz viszonyított helyzeték mérték fel. Ez fejlettebb módszer, mint a felkelési és a lenyugvási időpontok puszta rögzítése.
Minden csillagképnél feljegyezték a látható csillagok számát, a különösen fénylő csillagokat (Szíriusz), valamint a csillagkép alakját (pl. bika vagy nyíl). Ez eredetileg egyszerű katalógusrendszerként szolgált, később bevezették a gömbmértant - ezzel a geometria tényleg mennyei lett.
Mivel a pontos térképkészítés rendkívül fontos volt, nagy erőfeszítéseket tettek annak érdekében, hogy a csillagászati összhangba rendezett építményeket elpusztíthatatlan anyagból építsék meg. Ilyen pl. a viszonylag késői Jantar Mantar Delhiben, az ókori egyiptomi piramisok, a hatalmas angliai kő- és fakörök, valamint a velük szorosan összefüggő ley vonalak mentén található ősi emlékek - mindegyik a csillagok helyzetével függ össze.

A bolygók

Az ókorban nagyon hamar felismerték, hogy mely égitestek mozdulnak el a többihez képest. Ezek a "vándorló csillagok" valójában a bolygók. Az ókorban ötöt ismertek: a Merkurt, a Vénuszt, a Marsot, a Jupitert és a Szaturnuszt. Végigjárták a Zodiákus jegyeket, és mint a Föld, elliptikus pályán keringenek a Nap körül. Pályájuk nagyon bonyolultnak látszik, mert egy olyan bolygóról szemléljük őket, amely maga is mozog.

A nagy áttörés: Kopernikusz

A lengyel csillagász szerzetes, Nikolausz Kopernikusz (1473 - 1543) De revolutionibus orbium coelestium (Az égitestek körforgásáról) című munkájában azt állítja, hogy a bolygók és a Föld a Nap körül keringenek. Ez nagy áttörés volt, de Kopernikusz Ptolemaiosz körei alapján, körpályákban gondolkodott, mert a kört tökéletes síkidomnak tekintette, és ennek alapján úgy gondolta, hogy Isten minden valószínűség szerint ezt az alakzatot választotta. A megfigyelések azonban hamarosan azt sugallták, hogy ez nem teljesen igaz.
Kopernikusz szakított a középkori kozmológiával, amely a Földet tette meg a világmindenség közepének. Hét csillagászati posztulátuma közül a következő kettő a legfontosabb:
- "A Föld középpontja nem középpontja a Világmindenségnek, hanem csak a nehézkedésnek ( a négy elemnek) és a Hold mozgásának."
- "Mindaz, amit az állócsillagok égboltján mint mozgást észlelünk, nem olyannak mutatkozik, amilyen ténylegesen, hanem olyannak, amilyennek a Földről látszik. A Föld tehát a rajta levő tárgyakkal együtt naponta megfordul változatlan pólusa körül. Ezzel szemben az állócsillagok szférája ... mozdulatlan."

Kepler mutatja az utat

Johannes Kepler (1571 - 1630), Kopernikusz tanítványa jelentette ki 1609-ben, hogy a bolygópályák valójában elliptikusak. A bolgópályák közötti távolság kiszámításához azonban Kepler visszanyúlt az öt platonikus test szakrális geometriájához.
Több, mint 1900 évvel azután, hogy a görög matematikus, Menaikhmosz (Kr. e. 380 - 320) felfedezte az ellipszist, Johannes Kepler rájött, hogy ez a geometriai síkidom írja le a legjobban a bolygók Nap körüli pályáját. Alaposan kidolgozott ábrákat készített olyan egymásból következő gömbökről, amelyek magukban foglalják a platonikus testek mindegyikét, és legvégül a Földet. Felélesztette továbbá a bolygók harmóniájáról szóló elméletet is, amikor is a zenei hangokat a bolygópályákkal hozta összefüggésbe. Leonardo da Vincihez hasonlóan Kepler is igazi reneszánsz ember volt, és emellett ötletes gyakorlati csillagász, aki bizonyítani kívánta, hogy az ókorban használatos geometria a világegyetem rendszerével kapcsolatban is megállja a helyét.

Kepler törvényei

1600-ban Tycho de Brahe dán csillagász (1546 - 1601) felkérte Keplert, hogy dolgozzanak együtt Prágában. Brahe szolgáltatta Keplernek azokat az adatokat, amelyekhez elméleti ellenőrzésre volt szüksége.
Kepler 1. törvényében kimutatta, hogy a bolygók olyan ellipszispályán mozognak, melynek gyújtópontjában a Nap áll.
2. tövényében azt szemlélteti, hogy a Naptól egy bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol, miközben a bolygó pályáján halad.
1612-ben Kepler végül rájött, hogy egyetlen "mágikus" szám adja meg a választ mind a bolygópályák méretével, mid a bolygók keringési idejével kapcsolatos kérdéseire.
3. törvényében kijelenti, hogy a bolygók keringési idejének négyzete arányos a bolygó közepes naptávolságának köbével.
Hihetetlen, hogy ettől a középértéktől még a jóval Kepler halála után felfedezett külső bolygók is csak legfeljebb 0,24%-al térnek el.

A genetika geometriája

2009-02-11T11:01:00.000-08:00

A hélix szorosan a növekedéshez kapcsolódó háromdimenziós spirál. Az élővilágban gyakran megmutatkozik a kúszónövények, elsősorban a lonc, a hajnalka és a folyóka növekedésében, ill. az antilopok, kosok vagy a narvál szarvában. A csigalépcső, a sodrott acélhuzal, a facsavarok, a telefonkábelek, a rugók és a dugóhúzó mind-mind ember alkotta spirálok. A spirálforma megjelenik bizonyos időjárási jelenségekben is, pl. viharok, ciklonok és hurrikánok esetén.

A hélix csavarodhat az óramutató járásával egyező, vagy azzal ellentétes irányban. Ezért szokták hozzátenni, hogy jobb vagy bal spirálról van-e szó. Az egyik a másiknak tükörképe.

A kettős spirál még érdekesebb alakzat. Már jóval a DNA felfedezése előtt a pálcára tekeredő kígyó kettős spirálja volt az orvoslás általános szimbóluma. Eredetileg ez egy varázspálca, a kaduceusz, mely a görög istent Hermészt jelképezte. Az alkimistákat, a hermetikus tanok gyakorlóit valaha "Hermész fiaiként" emlegették. Nevük a kaduceusszal is összefonódik.

A DNA kettős spirálja

A dezoxiribonukleinsav (DNA), két jobb irányú háromdimenziós hélixből áll. 1953-ban James Watson és Frederic Crick felfedezte a kettős spirál szerkezetét, akik 1962-ben Maurice Wilkinsszel együtt Nobel díjat kaptak "a nukleinsav molekulaszerkezetével és az élő anyagban az információ átvitelével kapcsolatos felfedezésekért" (információátvitel = genetikai öröklődés).

A DNA kromoszómáknak nevezett fonalakba rendeződik. A különböző fajok kromoszómaszáma eltérő: az ember 46 (23 pár) kromoszómával rendelkezik. Érdekes egybeesés, hogy a görög iszopszéphia módszere szerint összeadjuk genetikai ősapánk, Ádám neve betűinek értékét, az eredmény 46 lesz. A DNA olyan, mint egy spirális létra, amelynek két oldalát számos létrafok tartja össze.

A DNA kettős spirálján 10 fokot kell "megtenni" a teljes fordulathoz - a Kabbalában az Élet Fájához szintén 10 fokú létra tartozik, és a püthagoraszi rendszerben is a tíz a teljesség száma.

Az élő sejtek mindössze hat elemből - szén, hidrogén, nitrogén, oxigén, foszfor, kén - épülnek fel, amelyek egymáshoz közeli redszámokkal (1,5,6,7,15,16) rendelkeznek. A DNA létrafokai nukleotidokból állnak, amelyeknek 4 típusuk van.
A modern génkutatás képes a struktúra tökéletes feltérképezésére.

A kettős spirál geometriáját úgy lehet a legjobban megismerni, ha függőlegesen lefelé végignézünk rajta. A szerkezet kettős ötszögek sora. Az aranymetszés arányszáma szorosan összefonódik az ötszög-szerkezettel. Tehát a DNA kettős spiráljának tengelyszerkezete az aranymetszést hordozza magában.

A hópelyhek

2009-01-31T08:21:00.000-08:00

Egyetlen más anyag kristályosodása sem történik olyan változatosan, mint a vízé.
A hópelyhek szerkezetében öltenek legtisztábban alakot a természetes fraktálok.

A sokféleség ellenére egyazon hópehely minden egyes ága ugyanazt a mintát követi. Mindegy, hogy az alakzatot milyen nagyításban szemléljük, a mintázat mindig ugyanaz.

A hópehely szerkezete

Heige von Koch (1870-1924) matematikus 1904-ben olyan matematikai modellel állt elő, melynek segítségével megszerkeszthető a hópehely. Egyszerű egyenlő oldalú háromszögből indul ki. Lépései:

A hópehely keletkezésének Koch-féle fraktálábrázolása talán nem adja vissza híven, milyen szerezeti változások mennek végbe egy-egy dermesztő téli napon, matematikai szempontból azonban kifogástalanul írja le a hópelyhek fraktáltermészetét.

A fraktálgeometriában az adott alakzat kerületének hossza folyamatosan, határtalanul növekszik, területe azonban csak lassan nő.
Matematikailag igazolható, hogy a hópehely területe sohasem haladja meg az eredeti kiindulási háromszög területének 8/5-ét, vagy 1,6-szorosát. Már megint azok a Fibonacci számok!
Míg a hópehely területe behatárolt, addig a kerülete korlátlan - ez minden fraktálgeometriai tárgyra jellemző. A természetben azonban kell, hogy legyen valamiféle határ - a hópehely esetében ez a molekuláris szint.

A hatos szám

A kínaiak is számokkal magyarázták a hópelyhek tulajdonságait. A legkorábbi feljegyzés talán Kr. e. 135-ből, Han Jingtől származik: "A növények és a fák virágai általában ötágúak, a hó azonban... mindig hatágú alakzatokat alkot." A tudós Thang Cshin a püthagoreusokhoz hasonlóan érvelt: "A víz igazi száma a hatos. Ha a víz virágokká fagy, akkor a virágoknak (a hópelyheknek is) hat szirmuk kell, hogy legyen".
Századokkal később, 1611-ben Johannes Kepler tette fel ismét a kérdést - miért alkotnak éppen hatszöget? - és megpróbálta megfejteni a hópelyhek geometriáját.
Robert Hooke (1635-1703) mikroszkóp alatt megvizsgálta és vázlataiban megörökítette őket a 17. század elején. (Hooke tudományos eredményei közé soroljuk a rugók harmonikus mozgásának vizsgálatát, valamint számos newtoni felfedezés megelőlegezését is.)

A befagyó víz

A jég sűrűsége kisebb a vízénél, ezért van az, hogy a jég úszik a vízen. A hópelyhek hatszögű alakzata a jégben is megmutatkozik, mivel minden egyes vízmolekula hexagonális szimmetriájú hidrogén-híd szerkezettel rendelkezik. Ezért valószínűnek látszik, hogy a hópelyhek formációit a molekuláris kötések befolyásolják - avagy, a kínai tudós szavaival élve:"a víz igazi száma a hatos".

Az élő víz

2009-01-30T04:14:00.000-08:00

A víz testünk több mint 60 %-át teszi ki, univerzális oldószer. Nélküle egy hétig sem maradnánk életben. Ha a hőmérséklet 4C°-ról 0C°-ra csökken, hirtelen olyan szilárd lesz, hogy akár egy fémcsövet is szét tud feszíteni.

Viktor Schauberger (1885 - 1958) felfedezései

Viktor Schauberger természettudós volt, akinek ötletei jelentősen megelőzték korát. Fiatal korában, mint erdész dolgozott az osztrák Alpokban. Az ottani „zord-természeti” megfigyelések jelentős hatással voltak a munkásságára.

Természeti megfigyelései a víz, mint élő anyag – amely energiával látja el a szerves és szervetlen életet – alapvető tulajdonságain alapulnak. A vizet gyakran, mint a „élő szervezetet” jellemezte.

Szerette a fákat és a természetes erdőket, mint a víz bölcsőit. Felhívta a figyelmet arra, hogy az erdőirtás kimeríti a vízháztartást és megszünteti a termékenységet, amely végeredményben elsivatagosodást és klímaváltozást okoz. Azzal érvelt, hogy amikor a természetes ökológiai rendszer egyensúlyban van, akkor a kreativitás virágzik, összetettebb életformák képesek kifejlődni, és egy univerzális rend és stabilitás is jelen van.

Előre látta, hogy amint az ember egyre inkább a természettel szemben cselekszik, az ökológiai rendszer egyre betegebb lesz, az emberi társadalmak összeomlanak – erőszak, kapzsiság és járványok kíséretében.

Rájött, hogy mivel a víz sűrűsége 4C°-on a legnagyobb, olyan anyagokat is képes fenntartani, amelyeket általában nem. Ezért hőmérsékletszabályozóval ellátott csatornarendszert épített, s ezen olyan rönkfákat is le lehetett úsztatni, amelyek egyébként elsüllyedtek volna.

A folyó geometriájának csekély mértékű megváltoztatása is az üledék lerakódásához, vagy éppen ellenkezőleg, kimosásához, s ezáltal a folyómeder elmélyítéséhez vezethet. Schauberger kidolgozta, hogyan ágyazzanak be bizonyos mértani formák szerint kialakított turbinalapátokat a folyómederbe úgy, hogy a vizet spirál alakba tereljék. Ezzel a módszerrel megtisztította a folyó elposványosodott részeit, ezáltal nagy mértékben megnövelte a vízben oldott oxigén mennyiségét, ezáltal pedig gyorsan emelkedett a vízben élő halak száma is.

A II. világháború után az örvénylés hatását használta ki és fejlesztette a vízből való energianyerés eszközévé. 1958-ban az Egyesült Államokba csábították, de végül elveszítette írásait, prototípusait és jogait. Öt nappal hazatérése után meghalt.
Fia Salzburg környékén megalapította a lauffeni Pythagoras - Kepler System intézetet, amely ma is fennáll.

A kanyargás geometriája

A folyók természetes geometriája a kanyargás. A mélyebb és sekélyebb részek szabályos matematikai rend szerint váltakoznak. Ennek megfelelően a folyó áramlatokat hoz létre, amelyek a kanyarulatokban levő mély medencéket kimossák, a kimosott anyagot pedig lejjebb, a másik parton lerakják. Ennek a vonalnak a tejes alakja tehát óriási színuszhullámként oldalvást halad, lassan a folyás irányában. Az ember megfontolatlan szabályozási kísérletei, amelyeket a kanyargó folyómedrek kiegyenesítésére, vagy kő- és betonpartokkal való megerősítésére tett, komoly károkat okozott. A kanyargás geometriája teszi lehetővé, hogy a folyó megbirkózzon az esőzések függvényében változó vízmennyiséggel. A meder kiegyenesítésével megváltozik a folyási sebesség, ez pedig gyakoribb és pusztítóbb árvizekhez vezet.

Medenceformák

Schauberger sok ötlete vár még hasznosításra. John Wilkes továbbvitte Schauberger elképzeléseit. Egy új áramlásformát kísérletezett ki, speciális vízvezető formákat kialakítva. Ezek nyolcas alakban ide-oda terelgetik a vizet, ezzel azt az áramlásmintát imitálják, amely két víztömeg egybefolyásakor alakul ki. A feltaláló szerint a módszer valódi vízminőség javulást eredményez.

Mediaeval Baebes: A természet bennünk

Kristályszerkezet

2009-01-27T08:29:00.000-08:00

Max von Laue, német fizikus 1912-ben egy kristálygömbön keresztül röntgensugarakat irányított egy megvilágítatlan fényképezőlemezre. Amikor előhívta a lemezt, tökéletes szimmetriában elrendezett sötét pontokat látott. A röntgen krisztallográfia tette lehetővé, hogy az egyes ásványok kristályszerkezete tanulmányozhatóvá vált.

A kristályok gyönyörű formákba rendeződnek. A Föld mélyén uralkodó szélsőséges hőmérsékleti és nyomásviszonyok alatt alakulnak ki, alkotórészeik szerkezete szabja meg a kristályos geometriai formákban megmutatkozó eredményt. Egyszerű egész számok határozzák meg mind az atomok elektronhéjait, mind a kristályok konfigurációját.

A kristályok természetes körülmények között poliéderek formájában növekednek. A platonikus testek legközelebbi fizikai megtestesülései, bár nem olyan tökéletesek, mint Platón ideális alakzatai.

Egy-egy adott anyag kristályai mindig ugyanazt a formát veszik fel: felépülhetnek szabályos, vagy szabálytalan poliéderekből, de soha nem mindkettőből.
A konyhasó nagyon magas koncentrációjú, forró vizes oldatából a hűlés során hatoldalú, kockaszerű kristályok válnak ki. A timsóoldatból kiváló kristályok mindig oktaéderesek.

A kristályok az élő formák növekedéséhez hasonlóan épülnek fel: a kristályosodási folyamat során a parányi eredeti forma megduplázódik, majd a kettős szerkezetek öszzekapcsolódásával ugyanaz a szerkezet formálódik nagyban.

A természetben nyilvánvalóan nagyon ritka a teljesen tökéletes forma. A végeredményt gyakran torzítja , hogy növekedés közben a szomszédos szerkezetek összeütköznek, egymásba torlódnak.

A kristályok osztályozása

A kristályok hét fajtáját ismerjűk, mindegyiket csupán egyetlen szerkezeti változás különbözteti meg az előzőtől. A kristályok besorolása aszerint töténik, hogy milyen a síklapok érintkezési szöge, valamint a tengelyek egymáshoz való viszonya.

Kocka alakú kristályok

Ezek a legegyszerűbbek. Három egymásra merőleges és egyenlő hosszúságú tengelyük van.
Az alapkristály minden oldallapja négyzet.
Ilyen kristályszerkezettel rendelkezik pl. a vaspirit, a galenit.
A tér kockájának képe a legelső kabbalisztikus szövegben a Széfer Jecirában szerepel a teljes teremtés eredeti szerkezeteként.

Tetragonális kristályok

Három tengelyük közül csak 2 egyenlő hosszú, de mind merőlegesek egymásra. a kristályokat téglalapok határolják.
Ilyen kristályszerkezete van a kassziteritnek és a rutilnak.

Rombos kristályok

Mindhárom tengelyük különböző hosszú, de egymásra merőleges. Ilyen pl. a topáz, peridot, kalkocit szerkezete.

Monoklin, vagy egyhajlású kristályok

Mindhárom tengelyük különböző hosszúságú, és csak kettő merőleges egymásra. Például a bórax, az azurit és a muszkovit tartozik ebbe a csoportba.

Triklin, vagy háromhajlású kristályok

Mindhárom tengelyük különböző hosszúságú, és nem merőlegesek egymásra. Ez a szerkezet nem gyakori.

Romboéderes, vagy háromszögű kristályok

Mindhárom tengelyük hossza egyenlő, de nem merőlegesek egymásra.

Hatszöges kristályok

Ezek a legösszetettebbek. Négy tengelyük van, három egyenlő hosszúságú, és ugyanazon a síklapon fekszik, egymással 120°-os szöget bezárva. a negyedik tengely a fenti háromra merőleges és bármilyen hosszú lehet. Ilyen pl. a kalcit és a berill.

Kristályformák

- a képek rákattintással nagyobbra nyithatóak

Forrás: hu.wiki

A növények növekedésének geometriája

2009-01-25T03:38:00.000-08:00

Az élőlények növekedése ismétlődő mintákat mutat. A növény olyan leveleket növeszt, amelyek a fajra jellemző öröklött mintát követik, és geometriailag megjósolható távolságban nőnek ki a szárból.

Robert Simson skót matematikus 1753-ban észrevette, hogy a Fibonacci számsor irányítja számos levél növekedési mintázatát. A számsor lényegében felvázolja a növekedés geometriáját.

A levél térközhagyása

Ha felülről nézzük valamely növény egyenes szárát, azt látjuk, hogy a levelek spirál mintát követve nőnek ki a szárból. Így jut minden egyes levél a lehető legtöbb esőhöz, napsütéshez.
Ha ujjunkkal levélről levélre haladva körbejárjuk a szárat, meghatározhatjuk a növekedés rendjét - spirálformát találunk. A levelek számlásakor két dologra érdemes odafigyelni: hogy összesen hány levél van a száron, és hogy ujjunkkal hány fordulatot tettünk a szár körül.
Az egyes levélhajtások által bezárt szög: a fordulatok száma x 360 / a levelek száma. A számítás eredménye gyakran 137°30' 27'', amely pontosan 360 / phi x phi (fí az aranymetszés aránya). Ezt a szöget aranyszögnek is nevezik.
E szög segítségével írhatjuk le azt a jelenséget, hogy pontosan az első levél fölött nő ki az 5., 13., 21., 34., ... számú levél.

Az érett magok elhelyezkedése

A Fibonacci számsor természetes előfordulásának legnyilvánvalóbb, szabad szemmel is látható példái a napraforgóvirág és a fenyőtoboz. A napraforgó tányérjában levő magok két egymásba fonódó spirált alkotnak.

A szirmok száma

A Fibonacci számsorhoz szintén köthetők:

3 ............ liliom, nőszirom, hármasszirom

5 ........... harangláb, primula, boglárka, vadrózsa, szarkaláb

8 ........... sarkantyúvirág, vérpipacs, pillangóvirág

13 ......... csodaszem, vetési aranyvirág

21 ......... cikória, sárga százszorszép

34 ........ útifű, morzsika

55 ........ őszcsillaga

89 ........ őszirózsa

A szirmok száma sose éri el a 144-et. Ez a szám sokszor állít határt a Fibonacci számsor természetben előforduló példáinak.

A fraktálok világa

2009-01-24T04:30:00.000-08:00

A fraktálok a világegyetem nem euklídeszi szemléletével függenek össze. Olyan geometriai formák, vagy minták, amelyek segítségével a növekedési energiákat lehet leírni, ezért a szakrális geometriához tartoznak. A fraktálokat ma a csillagászatban, a gazdaságtanban, a meteorológiában, és néhány különleges képhatás elérése érdekében a filmművészetben is alkalmazzák.

Benoit Mandelbrot, francia matematikus 1975-ben a fraktálokat olyan objektumokként írta le, amelyek sem nagyítás, sem akár mikroszkopikus kicsinyítés hatására sem veszítik el részleteiket, ill. arányaikat.
Ez az arány az aranymetszés állandójára emlékeztet, melynél egy szakasz vagy téglalap metszésekor minden esetben megmarad ugyanaz az arány.

A fraktálok tulajdonságai

A fraktáloknak két különböző fajtája van: a geometriai és a véletlenszerű vagy random fraktál. A hópehely például olyan geometriai fraktál, amely bizonyos minták szerint hozzáadott egyenlő oldalú háromszögek révén növekszik. A random fraktálokat számítógépekkel hozzák létre mind a modellezésben, mind a játékokban.

A fraktálgeometria olyan természetes növekedési jelenségek ábrázolására képes, mint pl. a partszakaszok, a páfránylevelek, a fakéreg. Az éghajlat, de látszólag még bizonyos ember alkotta jelenségek is eredményezhetnek fraktálokat (gazdasági előrejelzések).

Néhány páfrány a fraktálok klasszikus természeti példája, mivel leveleik minden egyes szelvénye a teljes levél miniatűr másolata. Emelett bizonyos fajok bimbói a logaritmikus spirál mintáját követve bomlanak ki.

A természeti fraktálok az elméleti és matematikailag létrehozott fraktálokkal ellentétben végesek. Például valamely partszakaszt ábrázoló fraktált addig lehet egyre nagyobb nagyításban szemlélni, amíg el nem érjük pl. a parti homokszemcsék konfigurációját. Ennél finomabb szintre nem juthatunk el, és nem várhatjuk a minta további ismétlődését, mint egy matematikai fraktál esetében.

A fraktálok másik fontos tulajdonsága a skálainvariancia, ami azt jelenti, hogy a szabálytalanság vagy a töredezettség foka minden szinten megegyezik.

további képek - vö.: http://www.ilcalderonemagico.it/labirinti_spirali&meandri.html

Rend, nem káosz

A fraktálokat gyakran a káosz geometriájával hozzák kapcsolatba, holott valójában nagyon rendezett alakzatok: egymásba fonódó, önmagukat megsokszorozó természetes objektumok milliói. Határozott geometria szabályozza őket. Például a felhők kimondottan fraktáltermészetűek, külsejük kaotikus, valójában olyan fraktált képeznek, amelyet a vízgőz, a levegő és a porszemcsék kölcsönhatásának tulajdonságai határoznak meg. Egy-egy fraktál mérése vagy meghatározása az alapminta elhatárolásán alapul - rekurzív matematikai függvénnyel.

Érdekesség: a Fibonacci számsor is ilyen rekurzív függvény.

A 13 arkhimédeszi test

2009-01-23T14:11:00.000-08:00

Az öt platonikus test "tiszta", azaz kizárólag azonos sokszögekből épül fel. Arkhimédesz (Kr. e. 287 - 212) további 13 olyan testet határoz meg, amelyeket két- vagy többféle különböző sokszögek határolnak.

Arkhimédesz erről szóló eredeti írásai elvesztek. A reneszánsz korában fedezték fel újra egymás után ezeket a testeket, egy kivételével, amit Johannes Kepler (1571 - 1630) fedezett fel újra abbéli igyekezetében, hogy megtalálja a bolygók pályája hátterében álló szakrális számok megoldását.

Az arkhimédeszi testeket határoló síkidomok szimmetrikus, szabályos sokszögek. A test minden egyes csúcsa körül ugyanazok a sokszögek mindig ugyanabban a sorrendben következnek. Például a csonka tetraéder esetében minden csúcsnál egy hatszög - háromszög - hatszög sorozatot tudunk megfigyelni.

A 13 test az egyes csúcsok körül csoportosuló sokszögek típusának felsorolásával jellemezhető. A csonka kocka mind a 24 csúcsa például háromszög - nyolcszög - nyolcszög sorozatot mutat, (3,8,8)-ként lehet rámutatni. Fontos azonban a számok sorrendje.

Hogyan szerkesztjük meg őket?

A 13 test közül hét megszerkeszthető egy-egy platonikus test csonkolásával. A csonkolás a csúcsok levágását jelenti.

Két arkhimédeszi test - a kis rombikozidodekaéder és a rombikuboktaéder - egy platonikus test kiterjeszésének az eredménye.

A fennmaradó két test, a snubdodekaéder és a snub kocka úgy keletkezik, hogy a dodekaédert, illetve a kockát határoló egyes síklapokat kifelé mozdítjuk, és közben elforgatjuk.

A folyamat során az egyes sokszögeket háromszögekből álló határsávval vesszük körül. A fennmaradó helyet egyenlő oldalú háromszögek töltik ki.

Megjegyzés: A fölső két kép nagyítható és a wikipedián megtalálhatók ugyanezen testek forgó képei is.

Az öt platonikus test

2009-01-22T12:12:00.000-08:00

A szabályos sokszögek olyan síkidomok, amelyeket úgy bele lehet rajzolni egy körbe, hogy minden csúcsuk érinti a kör kerületét. A szabályos poliéder testeket hasonlóképpen egy gömbben lehet elhelyezni úgy, hogy minden csúcsuk érinti a gömb felszínét. Oldallapjaikat szabályos sokszögek alkotják.

Platón ezeket a háromdimenziós sokszögeket tökéletesnek tartotta, öt ilyen testet írt le:
- a tetraédert ( 4 oldalú)

- a hexaédert ( 6 oldalú)

- az oktaédert ( 8 oldalú)
- a dodekaédert ( 12 oldalú)
- az ikozaédert ( 24 oldalú)

Ezek a testek mind a gyakorlati, mind a misztikus geometria fontos részévé váltak. Nem Platón volt azonban az első, aki foglalkozott velük: az első három a püthagoreusok, a másik kettő pedig Thaitétosz ( kr. 4 sz.) figyelmét keltette fel.

Ritkaságuk miatt Arisztotelész és Platón azt feltételezték, hogy ezek alkotják az anyag építőelemeit, és ezért a négy klasszikus elemmel és az éterrel kapcsolták össze őket.

Minden poliéder összekapcsolható következő alapképlettel:

élek száma + 2 = oldallapok száma + csúcsok száma

Az öt test megfelel két pár elemnek és az éternek. A kocka ( föld) és az oktaéder (levegő) egymás geometriai duálisai: az egyes síklapok középpontjait összekötve az egyik a másikon belül létrehozható. Megszerkeszthetünk tehát egy oktaéderben egy kockát, abban egy oktaédert, abban egy kockát és így tovább.

Ugyanígy egymás duálisai a tetraéder és az ikozaéder által képviselt két elem, a tűz és a víz.

Tökéletes szimmetria áll fenn tehát a két pár elem, a föld - levegő és a tűz - víz között.

A dodekaéder a maga duálisa, ellentetje, így az éter önmagát állítja elő.

Az irracionális számok geometriája

2009-01-21T11:39:00.000-08:00

A mai matematikusok azokat a számokat tekintik irracionális számoknak, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, tehát ha ezeket a számokat tizedes szám formájában szeretnénk felírni, a tizedesvessző után végtelen sok tizedesjegy következik.

Ókori őseink a földméréshez a háromszögeket hívták segítségül. A módszer kialakulását az is inspirálta, hogy egy hatalmas földterületen nagyon nehéz pontos, szabályos derékszögekkel rendelkező téglalapot kijelölni.

A háromszög sokkal könnyebben kezelhető, hiszen ha kijelöltük az egyik oldalát, akkor a másik kettő találkozásához már csak egy pont kell. Ha továbbfejlesztjük a módszert, és három, csomókkal ellátott kötelet használunk, csekély hibaszázalékkal kijelölhető a háromszög. Két háromszög felhasználásával tökéletes téglalapot kapunk.

Az egyiptomiaknak gyakran évente újra el kellett végezniük a földmérés procedúráját, miután a Nílus kiöntött és elmosta a régi határjelzőket - ezért is váltak a földmérés szakértőivé.
Az egyiptomiak már jóval a püthagoreusok előtt tudták, hogy a bizonyos számhármasokban kifejezhető háromszögek minden esetben derékszögű háromszöget eredményeznek (pl. 3,4,5 vagy 17, 144, 145).

Püthagoraszi számhármasokban nem kifejezhető derékszögű háromszögek mindig irracinális átfogót eredményeznek.

Görbék és logaritmikus spirálok

2009-01-19T13:03:00.000-08:00

A kört Isten tökéletes jelképének tekintjük, egyszersmind azonban zárt és statikus forma. Ezzel szemben a spirál az élet drámai szimbóluma: kezdőpontja van, vége azonban nincs, tehát a végtelenségig képes önmaga kiterjesztésére. Az élet elnyomhatatlan ereje, vagy ahogy Dylan Thomas fogalmazott: "Az erő, mely zöld száron hajt virágot".

Logaritmikus spirálok

Sokféle spirált ismerünk: síkspirálokat, háromdimenziós spirálokat, jobb- és bal spirálokat, állandó szögű spirálokat, geometriai, logaritmikus és négyzetes spirálokat.

A háromdimenziós spirálok úgy keletkeznek, hogy egy spirál egy másik geometriai forma, például kúp vagy henger körül kanyarog, ezáltal csigavonalat alkot, mint pl. a DNA molekula.

A logaritmikus, vagy szögazonos spirálok keletkezésének kulcsszáma a phí, az aranymetszési állandó.
A logaritmikus spirál olyan örvénylő négyszögekből áll, amelyek - a középpontból kifelé haladva - növekednek. Mivel a logaritmikus spirálok mérete egy adott geometriai arány szerint növekszik, a középpontból a spirál egy pontjába meghúzott rádiuszok geometriai progressziót mutatnak. A logaritmikus spirál az egyedüli, amely növekedés közben nem változtatja alakját.

René Descartes (1596 - 1650) a logika mestere és Jakob Bernoulli (1654 - 1705) matematikus is tanulmányozták a logaritmikus spirált. Bernoulli rájött, hogy a spirál megtartja növekedési potenciálját, ezért kérte, hogy sírkövére az eadem mutate resurgo (megváltozva bár, mégis önmagam kelek fel) szavakkal együtt ezt az alakzatot véssék majd rá.

Klasszikus görbék

A legfontosabb görbe a kör, emellett azonban léteznek egyéb, már az ókorban is ismert ls használt klasszikus görbék.
A parabola lenyűgöző tulajdonságokkal rendelkező görbe. Egy olyan szobában, amelynek mindkét végén parabolává görbülnek a falak, akkor is eljut a suttogás a parabola fókuszpontjából egy másik pontba, ha a szobában egyéb zajok is vannak. ( Ilyen szobák vannak pl. a washingtoni képviselőházban, a Statutory Hallban.)

Az ellipszis

Ez a geometriai alakzat határozza meg a bolygók Nap körüli pályáját. Johannes Kepler (1571 - 1630) volt az első, aki a bolygók pályájára vetítette ezt a görbét.

A félhold

A hold alakú idomot két különböző sugarú, egymást metsző kör határolja.Khioszi Hippokratesz (kr.e. 460 - 380) a kör négyszögesités problémájának megoldásakor félholdakkal kisérletezett.

Az evolvens

Ez a természetes görbe fedezhető fel a sas csőrének, a cápa hátuszonyának és néhány páfránylevél csúcsának görbületében.

A cikloisz

Olyan görbe, amelyet egy síkfelületen végigördülő henger alakít ki. A henger gurulás közben gyönyörű hosszú, boltívekben és egyéb szerkezetekben jól használható görbét rajzol.
A XVI. században Galilei, Pascal, Descartes, Leibniz és Newton is vizsgálták, a "geometria Helénájának" nevezték. Szépségével együtt a következők is elmondhatók róla:

- hossza pontosan megegyezik az őt létrehozó kör átmérőjének négyszeresével
- az íve alatti terület háromszorosa a görbét létrehozó kör területének
- racionális alakzat, amelyet egy irracionális dimenziókkal rendelkező alakzat, a kör hozott létre.

A kagylóvonal

Állítólag Nikomédész, a görög matematikus (Kr. e. 200) fedezte fel (konchoisz), és két klasszikus problémát oldott meg vele: a szögharmadolást és a kockakettőzést. A kagylóvonal olyan görbe, amelyet egy rögzített egyenes vonal és egy, azon kívül rögzített pont hoz létre.

Három ókori geometriai probléma

2009-01-18T11:10:00.000-08:00

A kör négyszögesítése

A probléma az időszámításunk kezdete előtti VI. század táján a kör területének kiszámításánál merült fel az ókori görögöknél. A megoldáshoz egy képletre volt szükség, annak a négyszögnek a megrajzolásához, amelynek a területe pontosan megfelel egy adott kör területének.

A feladat euklideszi szerkesztéssel nem oldható meg. Ezt az ókorban is sejtették, de csak 1882-ben bizonyította be Ferdinand von Lindemann német matematikus, hogy a π szám transzcendens, vagyis nem gyöke semmilyen racionális együtthatójú polinomiális egyenletnek. Néhány évtizeddel korábban ismert volt, hogy amennyiben a π irracionális, akkor a kör négyszögesítése euklideszi szerkesztéssel lehetetlen.

Az ókori egyiptomiak megoldása közel járt a megoldáshoz. A Rhind-papiruszban (i. e. 2000 k.) közölt legkorábbi megoldás próbálkozás eredménye. Egy 9 egységnyi átmérőjű kör területe majdnem megegyezik egy 8 egységnyi oldalhosszúságú négyzetével.

Az ókori görög matematikusok igen sok szellemes nemeuklideszi szerkesztést találtak ki. Az első eredményeket Hippokratész érte el. Számos, körívekkel határolt síkidomot (pl. Hippokratész holdacskái) alakított át ugyanolyan területű négyszöggé.

Deinosztratosz a Hippiász által feltalált triszektrix (kvadratrix) görbét használta fel a körkerület megszerkesztésére.

Arkhimédész a róla elnevezett spirális segítségével szerkesztette meg a körkerületet, amelynek ismeretében a négyszögesítés már megoldható, hiszen az "r" sugarú kör területe megegyezik annak a háromszögnek a területével, amelynek alapja a kör kerülete, magassága pedig a kör sugara. Persze sem Deinosztratosz, sem Arkhimédész szerkesztése nem euklideszi, mert a segítségül hívott görbék euklideszi módon nem szerkeszthetõk meg…

Euklideszi szerkesztéssel azonban számos jó közelítõ szerkesztés született. Ezek közül talán a legismertebb Kochanski szerkesztése. A félkör kerületét, négy tizedes pontossággal szerkesztette meg.

Szerkesztésének leírása:

Rajzoljunk OA =1 sugarú kört és ennek egyik átmérõjét, AB-t. Az átmérõ B végpontjához rajzoljunk érintõ egyenest, és ebbõl a végpontból mérjük fel a BC=OA húrt.

A BC húr felező merőlegese kimetszi az érintőn a D pontot. A D pontból az érintőre, a B érintőpont felé indulva, mérjük fel a DE = 3 OA távolságot.

Végül húzzuk meg az EA szakaszt. A Pitagorasz-tételnél többet nem kívánó számítással belátható, hogy AE ~ 3,14153...

A kockakettőzés

A kocka megduplázása – az ún. déloszi probléma – egyike az antik görög matematikusok által vizsgált és megoldatlan geometriai szerkesztési feladatoknak.

Eszerint egy olyan kocka élét kellene megszerkeszteni, amelynek térfogata kétszerese egy adott kocka térfogatának. (E térbeli szerkesztés síkbeli rokona a négyzet megduplázása, ami euklideszi szerkesztéssel megoldható, azonban a kocka kétszerezése nem.)

Több ókori forrás is beszámol arról a mondáról, ami a problémát Délosz lakóihoz köti. Eszerint a délosziak Apollón Delphoiban működő jósdájához fordultak, amikor városukat a pestis megtámadta. Apollón kocka alakú oltárát kellett volna kétszeresére cserélni, hogy a járványtól megszabaduljanak.

A feladatot az a kikötés teszi megoldhatatlanná, hogy a szerkesztéshez csak körzőt és vonalzót szabad használni (euklideszi szerkesztés). A megoldás keresésében szinte minden neves ókori matematikus részt vett.

Dioklész (i. e. III. sz.) munkáit csak hivatkozásokból ismerjük. Eutokiosz az Arkhimédész-kommentárjában írta le két nevezetes szerkesztését, köztük a déloszi probléma megoldásához „felfedezett” cisszoiszt. A szerkesztés a cisszoisz megrajzolásával kezdődik. A kör sugara a megduplázandó kocka éle: $a$ . A szerkesztés további lépéseihez csak egy vonalzó kell.

A probléma nagymértékben gyakorlati jellegű, mivel összefügg a folyadékok és a gabona mérésére alkalmas szabványeszközök megalkotásával. A Parthenon felépítésében is kulcsfontosságú szerepe volt, a templom térfogata ugyanis az előző temploménak a kétszerese.

Szögharmadolás

Az antik matematika történetében a probléma első nyomait az éliszi filozófus Hippiásznál (i. e. 420 k.) találjuk, bár maga a mű elveszett, csupán más szerzők (Proklosz, Papposz 4. sz.) hivatkozásaiból ismerjük. Bizonyára ez is, mint oly sok más téma, még ennél is korábbi eredetű. A megoldhatatlanságát az ókorban már sejtették, de bizonyítása csak az újkori matematikusoknak sikerült. A görög, arab és később az európai matematikusok az euklideszi szerkesztésekhez nem tartozó eszközöket és síkgörbéket használtak a megoldáshoz.

Hippiász (i. e. 420 k.) az elsőként ismert megoldásban az általa felfedezett speciális görbét, a quadtratrixot használja. A polárkoordinátákban egyenletű görbe pontjainak ordinátája arányos lévén a azimuttal, tehát a szerkesztés ennek a szakasznak az egyenlő részekre osztásával történik. Ebből következik, hogy a görbe egy szög tetszőleges számú egyenlő, vagy akármilyen arányú felosztására is alkalmazható.

Eukleidész: a geometria atyja

2009-01-17T13:16:00.000-08:00

A történelem legismertebb könyve, amely a geometriáról szól, Eukleidész Elemek című műve. Európában a XX. századig csak a Biblia kelt el nagyobb példányszámban.

Eukleidész valószínűleg Athénban, Platón tanítványain keresztül találkozott a matematika tudományával. Több könyvet is írt, de csak négy maradt ránk. Az egyik, az Optika bemutatja a perspektíva területén végzett legkorábbi tanulmányokat.
Alexandriai Theon a 4. században elkészítette az Elemek javított és átdolgozott kiadását, amely egészen a 19. századig minden fordítás alapjául szolgált. Egy angol bencés szerzetes, Bath-i Adelard Spanyolországban rábukkant az Elemek arab nyelvű szövegére, és 1120 körül lefordította latinra. Ez volt minden európai kiadás alapja a 16. századig. 1570-ben Sir Henry Billingsley elkészítette az angol nyelvű fordítást.

A nagy görög mértantudósok

Az ókori görögöket a geometriai problémák elegáns megoldása pusztán a problémamegoldás kedvéért érdekelte. Geometriájuk alátámasztotta a szakrális geometria lényegét jelentő harmóniára vonatkozó számításaikat, logikájuk pedig a mai tudományos érvelés alapja.
Eukleidész fektette le a geometria törvényeit, Püthagorasz magyarázta meg a számok természetadta szentségét, de sok más mértantudós is hozzájárult az építészet, csillagászat, mechanika és optika alapjainak lefektetéséhez. Munkájuk rendkívüli jelentőségű.
Thalész - az elsők között vitte át a geometria tudományát Egyiptomból Görögországba.
Platón - Kr.e. 387-ben Akadémiát nyitott, amely 529 -ig működött.

Platon

Theaitétosz alkotta meg az öt platonikus test térgeometriáját. Az arányokkal és szakrális geometriával foglalkozó művei elbűvölték a reneszánsz írókat.
Eudoxosz görög matematikust az arányok és a harmónia foglalkoztatták. A kör területének, a piramis és a kúp térfogatának meghatározására alkalmas módszereket dolgozott ki.
Menaikhmosz volt az első, aki demonstrálta, hogy az ellipszis, a parabola és a hiperbola a kúp ferde síkkal való metszeteként előállítható.
Archimedesz formalizálta az egyszerű eszközök geometriáját.

Archimédész

Apollóniusz a pí értékét határozta meg viszonylag nagy pontossággal, de foglalkozott a kúpszeletekkel is.
Hipparkhosz adta ki az első trigonometrikus táblázatokat, talán a trigonometriát is ő találta fel.

Hipparkhosz

Heron a síkidomokkal és a testek felszínével foglalkozott.
Menelaosz a csillagászatban bevezette a gömbmértan alkalmazását.
Ptolemaiosz Klaudiosz megírta a 13 kötetes Almageszt c. művét, ami csillagászati alapmű lett Kopernikusz és Kepler felfedezéseiig.
Alexandriai Papposz lefektette a modern projektív geometria alapjait.
Alexandriai Hüpatia, Theón lánya testesítette meg a filozófia és a geometria kapcsolatát.

Eredeti mértékegységek

2009-01-16T11:53:00.000-08:00

A szakrális építmények, templomok méretei gyakran mágikus minőséggel felruházott egész számokként jelennek meg. Az egyiptomi Nagy Piramis magassága például 280 rőf (146,439 m), alapéle 440 rőf (233,439 m).

Tudás és pontosság

Ha tudnánk milyen mértékegységgel számoltak az ősi kőkörök, pl. a Stonehenge építői, sokkal mélyebben érthetnénk az építmények szerkezetét. Egy kőkör belső átmérője 29,663 m, de ha ismernénk az eredeti mértékrendszert, elmondhatnánk, hogy az átmérő egész számmal kifejezhető - pl. 36 megalit yard. A 36-os szám elmond valamit a kör jelképrendszeréről, míg a 29,663 alig

Az angliai Keswick közelében található Castlerigg kőkör

A 38 kőtömb (menhir) egy 36 megalit yard átmérőjű kört formál.

Ahol az eredeti mértékegységek alkalmazása nehézségbe ütközik, jó megoldást jelenthetnek az arányszámok. Bár egy-egy olyan épület, mint a Parthenon, a Stonehenge vagy a Nagy Piramis modern mértékegységekkel is leírható, az adott méretek egymáshoz viszonyított arányszámai sokkal jelentősebb összefüggésekre mutatnak rá. Ezekről az arányszámokról gyakran kiderül, hogy egyszerű egész számú törtek, vagy "mágikus számok", mint pl. az aranymetszés arányszáma.

Miért olyan fontosak a mértékegységek? Minden kutúra hajlik rá, hogy a kerek számokat részesítse előnyben, és gyakran ez a megoldás kulcsa.

A templomok jellemzően inkább 60 vagy 64 és nem 63 egységnyi hosszúak, egyéb járulékos méreteik pedig a főbb méretek egész szémokban kifejezett hányadosai. Miért? Mert tudatalattinkban a szépség szorosan összekapcsolódik az arányossággal, az arányos geometriai felosztással.

Számos kutatás irányult az ősi mértékegységek felderítésére, hogy a régi építmények tervrajzát az eredeti mértékegységekkel rajzolhassuk meg.

Mely hossz-, súly- és időmértéket használtak a kőkorban és az ókorban? A római vagy görög lábról megfelelő dokumentáció áll rendelkezésünkre, az írásbeliség kialakulása előtt megépített megalit kőemlékek esetében viszont csak számos építmény megmérésével és az eredmények összevetésével következtethetünk az alkalmazott mértékegységre. Két ilyen régi mértékegység a megalit yard és a rőf. A rőfről megfelelő információk állnak rendelkezésre, a megalit yarddal kapcsolatos ismereteinket azonban rekonstrukciós módszernek köszönhetjük.

A megalit yard

Bár első hallásra valószerűtlennek tűnik, hogy létezett egy számos kulturában megjelenő egységes mérési rendszer, a témában jártas tudósok, köztük Alexander Thom professzor és John Michel, arra a következtetésre jutottak, hogy a megalit építmények egykori éptészei Európa legnagyobb részében egy bizonyos mértékegységet használtak.

Az eredeti mérések gyakran nagyon pontosak voltak. A megalit építési helyszíneket gondosan felmérték, és megtervezték. Thom a megalit helyszineken alkalmazott elméleti mértékegységet megalit yardnak nevezte el.

A franciákon kívül, más kultúra nem volt, amely a Föld kerületét vette volna valamely mértékegység alapjául. A mértékegységek mindig közvetlenül megfigyelhető, általános dolgokból erednek, pl. az emberi kar, egy búzaszem súlya. A megalit yard - Christopher Knight és Alan Butler kutatásai alapján - számos őpítési helyszín főbb méreteire ad ki egész számot.

A rőf

A Közel - Keleten mindig a rőf volt a szabvány mértékegység, amely egy felnőtt férfi alkarjának hosszából indul ki. Két különböző rőf létezik: egyiptomi rőf= 52,375 cm, normál rőf= 17,674 hüvelyk = 44,892 cm. A két mértékegységet különböző építményekhez használták. Ezeket pontos méretekként ismerjük, mert az egyiptomiak szabványosították fém mérőléceiket.

Hogyan mérjük meg a Földet két pálcával?

2009-01-15T11:57:00.000-08:00

Amikor a franciák a XIX. század elején elhatározták, hogy létrehozzák szabvány hosszmértéküket, a Föld kerületének egy negyvenmilliomod részét vették alapul. Hogyan végezték el a mérést? A módszer, amit követtek, semmivel sem volt kifinomultabb, mint Eratoszthenészé (kr. e. kb. 275-194), a 2000 évvel ezelőtt Egyiptomban élt mértandudósé.

Árnyékszögek

Eratoszthenész úgy érvelt, hogy mivel a Föld gömbölyű, a Nap sugarai (párhuzamos vonalak) segítségével kiszámítható a Föld kerülete. Eratoszthenész, vagy valamelyik tanítványa Syenébe ( a mai Aswan közelében) utazott, ott talált egy pontot, ahol nyári napfordulón, pontosan délben, éppen a fejük fölött állt a Nap. Ez az a pillanat, amikor a Nap eléri az év során befutott "pályája" legészakibb pontját. Ekkor egy függőlegesen tartott pálca ott nem vet árnyékot. Pontosan ugyanebben a pillanatban Alexandriában, Egyiptom legészakibb városában, ahol Eratoszthenész a nagy könyvtár vezető könyvtárosa volt, szintén megmérték egy másik pálca által vetett árnyék szögét. Az eredmény 7°12' volt.
Egyszerű euklídeszi geometriai számítással arra következtetett, hogy a két városnak a Föld középpontjával bezárt szöge is 7°12'.
Mivel Alexandria 5000 stadion távolságra volt Syenétől, ezért a következőképpen számolt:

ha 7°12' (7,2°) = 5000 stadion, akkor
360° = 5000 x 360 /7,2 = 250 000 stadion.

250 000 stadion 39 186 méterrel egyenlő ( mai becslések alapján a Föld kerülete 39 875 m), ami meglehetősen pontos mérés ahhoz képest, hogy a férfi, aki elvégezte, két pálcára és egy térképmérő kerékre, az ún. hodométerre támaszkodott két ókori egyiptomi városban.

( Egyébként a franciák mérése azért eredményezett kissé hibás adatot, mert nem vették figyelembe, hogy a Föld a sarkokon kissé ellaposodik.)

A törtek értéke

2009-01-13T11:19:00.000-08:00

Az emberek régen a 12-es vagy a 60-as számrendszerben számoltak. A 10 csak 2-vel és 5-tel osztható maradék nélkül, ezért nem annyira rugalmas szám. A 60-as számnak sokkal több osztója van pl. 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Végtelen hosszú tizedes törtek helyett - törtekkel - akár egészen parányi részekre is feloszthatjuk az egészet.

A legjobb osztó/ nevező kiválasztása

Nagyon fontos az osztó megválasztása. Amint kiderül, hogy az építők, építészek adott csoportja, vagy egy-egy civilizáció mely osztókkal számolt, méréseinket átültethetjük az eredeti építők által alkalmazott rendszerre. Megkezdődhet az épület jelképrendszerének, jelentésének és használatának elemzése.

Az ókorban más-más helyeken élő, különböző népek és civilizációk ugyanazokat a mértékegységeket használták. Meghatározott kapcsolat volt a látszólag egymástól teljesen különálló dolgok - mint pl. a hosszúság, a súly, a térfogat és az idő - mérése, mértékegységei között

Ősi és mai mértékegységek

1 megalit hüvelyk -------- 0,020 m --------- 0,816 hüvelyk -------- 0,068 láb
1 megalit yard ----------- 82,966 m ------- 32,664 hüvelyk -------- 2,722 láb
1 megalit rúd -------------- 4,977 m ------ 195,984 hüvelyk -------16,332 láb
1 normál rőf ---------------- 0,448 m ---------17,674 hüvelyk ---------1,472 láb
1 egyiptomi rőf ----------- 0,523 m ---------20,620 hüvelyk ---------1,718 láb
1 remen --------------------- 0,740 m ---------29,156 hüvelyk ---------2,429 láb
1 római láb ---------------- 0,292 m ---------11,52 hüvelyk -----------0,96 láb
1 görög láb ----------------0,3048 m --------12 hüvelyk ---------------1 láb
1 hosszabb gögög láb-- 0,338 m ---------13,333 hüvelyk ----------1,111 láb
1 görög stadion --------182 m -----------7200 hüvelyk -----------600 láb
1 görög plethron --------30 m -----------1200 hüvelyk -----------100 láb

A francia órásmesterek sikeresen ellenálltak az időmérés tízes számrendszerbe történő átváltásának, így az órák a mai napig 60, és nem 100 percre osztanak egy órát.

Zene, rezgés és az egész számok

2009-01-11T05:07:00.000-08:00

Püthagorasz úgy érvelt, hogy ha a számok képesek a zenei összhang tökéletes bemutatására, akkor a kozmosz harmóniáját is leírhatják.

Harmonikus arányok

Kizárólag egész számokban kifejezhető törtek eredményeznek harmonikus hangzást. A zenei oktáv rezgésfrekvenciájának aránya 2:1. Ha pl. a húrok arányait 4,2 vagy 3,7 egységnyi hosszúságúra módosítjuk, disszonancia az eredmény.

Számos hangsor létezik, és mindegyik különböző zenei tulajdonságokkal rendelkezik. A moll hangsort, amely a kis terceket részesíti előnyben a nagy terccel szemben, gyakran tekintik melankolikusnak. Dúr akkordról mollra váltva - kádencia - kísérteties hatást érünk el. Mollról dúrra váltva - Picardy terc - felemelőnek, reményteljesnek tekinjük a változást.

A zenei harmónia megerősítette Püthagoraszt abban, hogy az egész számok és egységtörtek szentek, a nem egész számmal kifejezhető hányadosok nem lehetnek szentek. A pentaton hangsorok (dúr változata ugyanolyan törtarányokkal rendelkezik, mint a zongora fekete hangjegyei) világszerte hallhatók a népzenékben, egyházi énekekben.

Robert Fludd monochord ábrázolása

Jellegzetes hatást érünk el, ha a moll pentaton hangsorban a kvart és a kvint közé beékelünk egy hangot - ez a kék tónus /blue tone, a blues, a dzsessz és a rockzene ún. blues hangja.
Az Európán kívüli kultúrák eltérő zenei skálát használnak - a kínaiak pl. pentaton skálákat kedvelik, az indiaiak 22 hangot használnak. Az egész számok alapelve azonban univerzális érvényű.
Ha a hegedű vonóját porral beszórt fémlemezen húzzuk végig, a porszemcsék összetett minta szerint rendeződnek. Az egész számok így gyönyörű geometriai mintákat alakítanak ki. Az építészet (pl. a Parthenon esetében, melyet bizonyos szent számok és ezek kombinációi alapján építettek fel) olyan, ösztönösen érzékelhető, de tudatosan nem mindig felfogott szépséget sugároz, amely szilárdan áll a számtan és geometria talaján.

Csodás kegy - Judy Collins & a choir

http://www.youtube.com/watch?v=PHpye0M34JQ&feature=related

Püthagorasz és a számok imádata - jegyzetek S. Skinner: Szakrális geometria c. könyvéből (Bioenergetic 2007)

2009-01-11T00:49:00.000-08:00

Az Égei-tengeren található Szamosz szigetén született.
Egyiptomban hosszasan időzött, s kivételesen felvették a papi rendbe. Amikor a perzsák meghódítják Egyiptomot, hét évre maga is babiloni fogságba kerül. Ekkor ismerkedik a káldeusok vallásával, filozófiájával, csillagászatával és – a saját munkásságában is oly fontos – zenéjével. Innen juthatott tovább Perzsia akkori keleti szomszédja, India földjére, melynek filozófiája, számelmélete, gyakorlati életvitele, de ruhaviselete is tükröződik Püthagorasz életében. Talán innen tanulta a lélekvándorlás hitét s a vegetárius táplálkozás gyakorlatát.

Keleti fogságából hamarosan hazatér, 529. táján pedig a dél-itáliai görög gyarmatra, Krotónra költözik. Itt alapítja meg tudós akadémiáját.

Püthagorasz (Kr. e. 569 kb. 475)

A tagoktól megkövetelte a törvénytiszteletet és a következetes, erkölcsös életet. A tagok tartózkodtak a húsételek fogyasztásától, maga Püthagorasz a lélekvándorlást vallotta, megvoltak titkos szertartásaik, beavatási-, eskü- és egyéb formuláik. A megszokással szakítva női hallgatói is voltak.

Püthagorasz tanait kezdetben számos görög gyarmatvárosban elfogadták, arisztokratikus nézetei miatt azonban összeütközésbe került a demokrácia képviselőivel. Zavargások törtek ki, annak ürügyén, hogy követői beszivárognak a politikai életbe. A lázongás során üldözték őket, a felkelők a közösség legtöbb tagját megölték. Püthagorasz végül Metapontionban telepedett meg, itt is halt meg 500 körül.
Követői két ágra szakadtak: egyesek a misztikus tanokat inkább vallási jellegű közösségben gyakorolták, míg mások a matematikának, a tudománynak éltek. A szervezet az üldöztetés ellenére is fönnmaradt vagy kétszáz esztendeig, végül elenyészett. Tanítása azonban fennmaradt: szinte változatlan formában jelenik meg Platónnál, majd a neoplatonistáknál, a VI. században pedig a kereszténység filozófiájába is sok eleme beépült.

Püthagorasz matematikájában egyrészt a világ valóságos, objektíve megragadható alapjaival foglalkozott, másrészt viszont elvont és misztikus számelméletet nyújtott, a számok eszmei természetére vezetve vissza a világ létét és működését.

A számok szent és titokzatos tulajdonságait kutatta. Kijelentette, hogy a számok önmagukban szentek. Mindamellett a geometria birodalmába is bepillantott. A róla elnevezett tételt valószínűleg Egyiptomban vagy Babilóniában tanulta. Bebizonyította, hogy az átfogó hosszának négyzete megegyezik a másik két oldal négyzetének összegével. Ha több derékszögű háromszög oldalait megmérjük, hamarosan rájövünk, hogy egy sor olyan háromszög is megfelel ennek a tételnek, amelynek minden oldala egész számokban kifejezhető: ezeket püthagoraszi számhármasoknak nevezzük, pl. (3, 4, 5), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (17, 144, 145). Ezeket a számhármasokat nagyon fontos mágikus számoknak tekintették, néhány kr. e. 1600-ból származó babilóniai táblázaton is megtalálhatók.

A szent tetraktüsz
Püthagoraszék gyakran számoltak kis kavicsokkal, s a szent tetraktüsz ilyen kis kavicsokból, vagy pontokból álló háromszög, melyben az első sort egy pont alkotja, a másodikat kettő, a harmadikat három, a negyediket négy, azaz összesen tíz. Ez a szent tetraktüsz volt a szövetség jele, felvételkor a jelöltek erre tettek esküt. A számoknak geometriai alakot tulajdonítottak, így összekötötték az aritmetikát és a geometriát. Ennek alapján beszéltek síkbeli számokról, melyeknél a kavicsokat egy felületen rendezték el, míg a köbszámokat (1, 8, 27, 64, 125) térbelinek képzelték el.

Végül a számoknak szimbolikus jelentést is tulajdonítottak. Az egyes szám a pont, a kezdet, a kiterjedés nélkül létező. A kettő a két pont, amely egy vonalat határoz meg, a hármas szám a három pontból alakuló első síkidom, a háromszög szimbóluma, a négyes szám pedig nem más, mint az első test, a négy csúcsa által meghatározott tetraéder. Az egy, kettő, három, illetve négy pont által meghatározott entitások összege (tíz) kiadja a mindenséget. A tízes mellett a hármas számot is isteni tökéletességűnek tekintették, amely a kezdet-közép-vég folytonosságát szimbolizálja.

A lambda és a világ harmóniája

A püthagoreusok hét számot írtak fel a lambda száraira.

A páros számok a lambda baloldali szárán rendeződnek el növekvő sorrendben. Ezeket női számoknak tekintik, mivel megvan bennük az osztódás, és ezáltal a reprodukció lehetősége. ( A női minőség számos kultúrában hagyományosan a bal oldalhoz kapcsolódik.)

A jobb oldali száron sorakozó páratlan számok a férfi minőséget hordozzák. Az ókori Kínában ugyanígy azt vallották, hogy a teremtés az 1-es számmal kezdődött, amely ezután kettéosztódott.

A bal oldali számok a 2 többszörösei.

A jobb oldali számok a 3-as szám hatványai.

A lambda és a reneszánsz

Ezen az 1525-ből származó képen két különböző számtani rendszer látható. A központi nőalak Aritmetikát jelképezi. Feje körül jellegzetes reneszánsz szalagfelirat: Typus arithmeticae - ez arra a két számrendszerre utal, amelyeket a padokon ülő két férfi testesít meg. A jobboldali férfi, Püthagosasz, kavicsok segítségével számol, míg társa Boethius, az új arab/hindu számokkal végzi számításait. A lambda a nőalak szoknyájának közepén jelenik meg, amint a két számrendszert egyesíti.

A lambda meglepő titkai

A lambdát szemlélve felmerül a kérdés: Miért állt meg Püthagorasz hét számjegynél? Talán mert a 7-es mágikus szám? Vagy talán azt akarta, hogy magunk próbáljuk meg kitalálni a következő számot? ( Az egyes szárakon a 16-os ill. a 81-es szám következik.)

A 16-os megjelenik abban a hexadecimális rendszerben, amely a számítógépeket működteti. A reneszánsz korában a geomantia jelölési rendszere is 16-os volt: a viá-tól a laetitiáig. A geomantia jövendölési rendszere 16 olyan kettős alakzatból indult ki, amelyek homokba tetszőlegesen letett pontokon alapulnak. ( Bár a geomantiát a későbbiekben a feng shui rendszerhez kötötték - semmi köze hozzá.)

A 81-nek a világegyetem szerkezetének szempontjából van jelentősége.
IAO (isten gnosztikus neve): I(10) + A(1)+ O(omikron) (70) = 81
I(10) + A(1)+ O(omega) (800) = 811
Ezt az értéket a görög iszopszéphia renszerrel számították ki.

A lambda ma

Dr. Peter Plichta (Düsseldorfban dolgozó kémikus-fizikus-matematikus) napjainkra újra feltárta a lambda számos titkát, s ezeket a modern kémiában alkalmazta. A tudóst lenyűgözik pl. a prímszámok. Miért van az például, hogy ezek a számok tetszőlegesen, és nem bizonyos törvényszerűségnek engedelmeskedve követik egymást? A számsorban előre haladva egyre ritkulnak. Hadamard prímszámelmélete szerint az 1-től végtelenbe tartó számsorban a prímszámok feltűnési gyakoriságának csökkenése Euler állandójához köthető ( 2,718...). Rájött, hogy ugyanez az állandó egyéb természeti törvényekben is fellelhető (radioaktív hasadás, szökési sebesség).
Az elemek periódusos rendszerét vizsgálva szembetűnő, hogy a stabil elemek rendszámai 1-től 83-ig terjednek. A 83-as rendszámú bizmut után olyan elemekkel telálkozunk, mint a 90-es tórium vagy a 92-es uránium, melyek instabilak. Valamilyen különös okból kifolyólag a 43-as és a 61-es rendszámú elem (a technécium és a prométium) nem fordulnak elő a természetben, sem sehol máshol a Naprendszerben. Ezért pontosan 81 stabil elemünk van.
A másik megdöbbentő püthagoraszi tény, hogy az elemeknek akár 10 stabil izotópjuk is előfordulhat, de ennél több soha.